Le même ciel, deux points de vue

Pour Ptolémée (ii^e siècle), la Terre est immobile et tout tourne autour d’elle. Pour Copernic (1543), c’est le Soleil qui est au centre et la Terre tourne autour de lui en un an.

Les deux décrivent pourtant les mêmes observations : seul change le point de vue, ce que les physiciens appellent le référentiel. Un mouvement simple vu du Soleil peut paraître compliqué vu de la Terre.

Vue depuis le Soleil

Pour les amateurs de mathématiques

Un cercle de rayon b roule sans glisser autour d’un cercle fixe de rayon a. Un point P, lié au cercle qui roule, à la distance k·b de son centre, trace une épitrochoïde :

x = b · [ (q + 1) · cos t − k · cos((q + 1) t) ]
y = b · [ (q + 1) · sin t − k · sin((q + 1) t) ]
avec q = a / b

a

le rayon du cercle fixe ;

b

le rayon du cercle qui roule ; q = a/b compte combien de fois il « tient » sur le tour du cercle fixe. Si q est entier, la courbe se referme après un tour, avec q arches ;

k

la distance du point au centre, en rayons b : k = 1, le point est sur le cercle (épicycloïde, avec des pointes) ; k < 1, à l’intérieur (courbe ondulée) ; k > 1, à l’extérieur (des boucles, comme Mars).

C’est aussi un déférent de rayon a + b portant un épicycle de rayon k·b, qui tourne q + 1 fois plus vite : les boucles de Ptolémée sont des épitrochoïdes. Albrecht Dürer en trace dès 1525 (ses « lignes d’araignée ») ; Étienne Pascal, le père de Blaise, étudie le cas a = b, que Roberval baptise limaçon en 1650 ; Rømer (1674) puis La Hire (1694) les utilisent pour dessiner les dents des engrenages.