Des triangles dont les côtés sont des angles

Sur une sphère, le plus court chemin entre deux points suit un grand cercle, dont le centre est celui de la sphère. Trois grands cercles découpent un triangle sphérique : ses côtés sont des arcs, que l’on mesure en degrés. C’est l’outil des astronomes, puis des navigateurs.

De Ménélaüs à Regiomontanus

Vers l’an 100, Ménélaüs d’Alexandrie écrit les Sphériques, premier traité consacré aux triangles tracés sur la sphère. Ptolémée s’en sert dans l’Almageste (ii^e siècle) : il calcule avec des cordes, dont il dresse une table.

Les savants de l’islam transforment l’outil. Al-Battani remplace la corde par le sinus, venu d’Inde, et utilise une relation équivalente à notre formule ; Abu l-Wafa et al-Biruni établissent la loi des sinus, et en tirent l’heure des prières et la direction de La Mecque. Avec Nasir al-Din al-Tusi (vers 1260), la trigonométrie devient une science à part entière.

En Europe, Regiomontanus rassemble ce savoir dans son De triangulis omnimodis (écrit en 1464, imprimé en 1533) : la formule fondamentale du triangle sphérique y est énoncée. Ses tables astronomiques accompagnent les navigateurs des grandes découvertes.

Deux façons de repérer un astre

Le marin se place au centre de la sphère céleste. Deux repères s’y croisent : celui de l’horizon, où l’on mesure la hauteur h d’un astre, et celui de l’équateur, où les tables donnent sa déclinaison δ et où le temps fixe son angle horaire H. La trigonométrie sphérique fait le pont entre les deux.

Pôle, zénith, astre

Le pôle céleste P, le zénith Z et l’astre E sont trois points de la sphère : reliés par des arcs de grands cercles, ils forment un triangle sphérique. Ses côtés et son angle en P se lisent avec ce que le marin connaît ou mesure.

De la formule générale au règlement du Soleil

Il ne reste qu’à appliquer la formule fondamentale au triangle de position. Elle donne la hauteur de l’astre à toute heure, et à midi, la règle des pilotes portugais.

Hauteur h mesurée sur la sphère

sin φ·sin δ + cos φ·cos δ·cos H

sin h

Quand l’astre franchit l’horizon

La formule ne sert pas qu’à midi : en faisant tourner H, on suit l’astre toute la journée, et l’on calcule l’heure de son lever et de son coucher.

De l’équateur au cercle polaire

Selon la latitude et la saison

Avec cos H = − tan φ · tan δ, on calcule la durée du jour, 2H/15 heures, pour toute latitude et toute date : au fil de l’année, la déclinaison du Soleil oscille entre −23,4° et +23,4°.

À l’équateur, le jour dure toujours 12 h. Aux équinoxes (δ = 0), il dure 12 h partout. Plus on monte vers le pôle, plus l’écart se creuse entre l’été et l’hiver ; au-delà du cercle polaire (φ > 66,6°), la courbe atteint 24 h (soleil de minuit) et 0 h (nuit polaire).

Choisissez la latitude (courbe orange) et la date. Les durées sont calculées pour le centre du Soleil, sans la réfraction, qui allonge le jour de quelques minutes.

La même formule, sur la Terre

Pour prier, on se tourne vers La Mecque : les savants de l’islam devaient calculer cette direction, la qibla, pour chaque ville et pour orienter les mosquées. Al-Biruni y consacre un livre entier vers 1025. Le triangle est le même que celui du marin.