La latitude avec le Soleil
Le Regimento do estrolabio e do quadrante, premier manuel imprimé des pilotes portugais : « pour savoir la déclinaison et le lieu du Soleil chaque jour, et aussi l’étoile du Nord ».
Pourquoi le Soleil ?
L’étoile polaire a ses limites : il faut une nuit claire et un horizon visible. Plus on descend vers le sud, plus elle s’approche de l’horizon, et elle disparaît passé l’équateur. Dans l’hémisphère Sud, aucune étoile brillante ne marque le pôle céleste.
Le Soleil, lui, se voit en plein jour. Vers 1485, les mathématiciens de João II mettent au point une règle pour trouver la latitude à partir de sa hauteur à midi.
Le midi solaire est l’instant où le Soleil passe au méridien du lieu, la ligne nord-sud du ciel : il est alors au plus haut de sa course, et l’ombre d’un bâton vertical est la plus courte.
Le Soleil de midi au fil de l’année
Dans ce simulateur, le personnage est au centre de son horizon (en vert) ; chaque jour, le Soleil décrit un cercle parallèle à l’équateur céleste. Changez le jour de l’année (en haut à droite) et regardez sa hauteur à midi : haute en juin, basse en décembre.
La déclinaison du Soleil
La déclinaison
La Terre tourne autour du Soleil en gardant son axe incliné. Vue de la Terre, la direction des rayons du Soleil change donc au fil de l’année : leur angle avec le plan de l’équateur est la déclinaison du Soleil (l’angle rouge).
Elle vaut 0° aux équinoxes, +23,4° au solstice de juin (le Soleil est à la verticale du tropique du Cancer à midi) et −23,4° au solstice de décembre (tropique du Capricorne).
Les pilotes la lisent dans des tables. Dans celle-ci, l’équinoxe tombe le 11 mars : le calendrier julien, un peu trop long, a pris dix jours de retard sur les saisons. La réforme grégorienne les supprimera en 1582.
Changez la date, faites glisser la caravelle : la latitude (l’angle blanc) est l’angle entre l’équateur et le zénith du bateau.
- Date
- Déclinaison du Soleil
- Latitude du bateau
Le règlement du Soleil
Le règlement de la hauteur du Soleil
À midi, le pilote mesure la hauteur h du Soleil au-dessus de l’horizon (l’angle orange). Ses tables lui donnent la déclinaison δ du jour. Il en déduit la latitude φ :
φ = 90° − h + δ
Pourquoi ? Les rayons du Soleil sont parallèles. L’angle entre le zénith du bateau et les rayons, 90° − h, se retrouve au centre de la Terre, entre la direction du bateau et celle des rayons : il vaut φ − δ (l’angle blanc moins l’angle rouge). Donc 90° − h = φ − δ.
δ est positive quand le Soleil est au nord de l’équateur (de mars à septembre), négative sinon. La règle vaut quand le Soleil de midi passe au sud du zénith ; s’il passe au nord, sous les tropiques ou dans l’hémisphère Sud, le règlement en donne une autre : φ = δ − (90° − h).
- Hauteur du Soleil h
- Déclinaison δ
- Latitude φ
Mesure avec l’astrolabe
L’astrolabe de marine
Le 12 novembre 1488, Bartolomeu Dias rentre du cap de Bonne-Espérance. Loin des côtes, il veut vérifier qu’il est bien à la latitude de Lisbonne (38,7° N). À midi, il tourne l’alidade de l’astrolabe pour que le rayon du Soleil passe par les trous des deux pinnules, lit l’angle, puis cherche dans ses tables la déclinaison du jour : −20,3°.
À vous : tournez l’alidade, lisez la hauteur, puis calculez la latitude. La déclinaison du jour se lit dans .
Pour aller plus loin : à n’importe quelle heure
La hauteur du Soleil dépend aussi de l’angle horaire H (15° par heure avant ou après midi) :
sin h = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos H
À midi, H = 0 et l’on retrouve la règle du règlement.
La trigonométrie de la sphère
Faites glisser la sphère pour la tourner, ou replacez-la :
Pour les amateurs de mathématiques
D’où vient la formule φ = 90° − h + δ ? D’une formule générale de la trigonométrie sphérique, que l’on voit ici sur la sphère céleste du marin. La démonstration pas à pas, le lever et le coucher des astres et la direction de La Mecque sont dans le complément consacré à la sphère.
Pour aller plus loin : les mathématiques de la sphère ›
- Hauteur h mesurée sur la sphère
- sin φ·sin δ + cos φ·cos δ·cos H
- sin h