Rappels sur les vecteurs et la dérivée

Coordonnées d'un vecteur

Trois vecteurs sont représentés dans le repère ($O,\vec{i},\vec{k}$)

🔗 Voir cette animation sur mon site.

Les coordonnées d'un vecteur $\vec{V}$ sont les projections de ce vecteur sur chacun des axes:

La coordonnée $\mathrm{V}_{1x}$ est la projection du vecteur sur l'axe (O, x).
La coordonnée $\mathrm{V}_{1z}$ est la projection du vecteur sur l'axe (O, z).
On écrit le plus souvent les coordonnées en colonne: \[ \vec{V} \left| \begin{aligned} &V_{x}\\ &V_{z} \end{aligned} \right. \].

📖

Donnez les coordonnées de chacun des trois vecteurs dans ce repère

\[ \vec{V}_1 \left| \begin{aligned} V_{1x} &= 4\\ V_{1z} &= 5 \end{aligned} \right. \] \[ \vec{V}_2 \left| \begin{aligned} V_{2x} &= 5\\ V_{2z} &= 0 \end{aligned} \right. \] \[ \vec{V}_3 \left| \begin{aligned} V_{3x} &= 0\\ V_{3z} &= -6 \end{aligned} \right. \]

V_x = V_z = V = α

coordonnées entières angle α

Norme d'un vecteur

Dans le repère ($O,\vec{i},\vec{k}$), la norme d'un vecteur $\vec{V}$ s'écrit :

$V=\sqrt{V_x^2+V_z^2}$

En effet, $\mathrm{V}$, $\mathrm{V_x}$ et $\mathrm{V_z}$ sont les longueurs d'un triangle rectangle avec $\mathrm{V}$ longueur de l'hypoténuse :

${V^2}={V_x^2+V_z^2}$

La norme du vecteur $\vec{V}_1$ de l'exemple précédent vaut : $\mathrm{V_1}=\sqrt{V_{1x}^2+V_{1z}^2}=\sqrt{4^2+5^2}\approx 6{,}4$

Projection d'un vecteur sur un axe

Si un vecteur $\vec{V}$ fait un angle α avec l'axe (O,x), on peut écrire ses coordonnées en fonction de sa norme et de l'angle α: \[ \vec{V} \left| \begin{aligned} V_{x} &= V\times \cos\alpha\\ V_{z} &= V\times \sin\alpha \end{aligned} \right. \]

Dérivée d'un vecteur

Si le vecteur $\vec{V}$ est en mouvement dans ce référentiel, ses coordonnées varient dans le temps. Le vecteur $ \dfrac{d\vec{V}}{dt} $ décrit les variations de $\vec{V}$ dans le temps.

Ses coordonnées s'écrivent :

$$ \dfrac{d\vec{V}}{dt} \ \left| \ \begin{matrix} \dfrac{dV_x}{dt} \\[1.5em] \dfrac{dV_z}{dt} \end{matrix} \right. $$

Les coordonnées du vecteur $ \dfrac{d\vec{V}}{dt} $, vecteur dérivé de $\vec{V}$ par rapport au temps sont les dérivées des coordonnées du vecteur $\vec{V}$. Vous trouverez des exemples dans les exercices.

Position, vitesse et accélération

Le vecteur position

Dans l'espace à trois dimensions, la position d'un point M est représentée par le vecteur position $ \overrightarrow{OM} $ dans le repère ($O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}$). S’il est en mouvement, ses coordonnées dépendent du temps.

Ses coordonnées s'écrivent: \[ \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} &x\\ &y\\ &z \end{aligned} \right. \].

x, y et z sont les coordonnées du point M à chaque instant.

Le vecteur vitesse

C'est le vecteur qui représente les variations du vecteur $ \overrightarrow{OM} $ dans le temps. Il s'agit donc du vecteur dérivé de $ \overrightarrow{OM} $ :

$$ \vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$$

Ses coordonnées s'écrivent: \[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=\dfrac{dx}{dt}\\ v_y&=\dfrac{dy}{dt}\\ v_z&=\dfrac{dz}{dt} \end{aligned} \right. \].

Rappel : le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.

Le vecteur accélération

Le vecteur qui décrit les variations du vecteur $ \vec{v} $ dans le temps est le vecteur accélération :

$$ \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$$

Et comme la vitesse est elle-même la dérivée de la position, on peut aussi écrire : $ \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2} $.
L'accélération est la dérivée seconde de la position.

Ses coordonnées s'écrivent: \[ \vec{a} \left| \begin{aligned} a_x&=\dfrac{dv_x}{dt}= \dfrac{d^2x}{dt^2}\\ a_y&=\dfrac{dv_y}{dt}= \dfrac{d^2y}{dt^2}\\ a_z&=\dfrac{dv_z}{dt}= \dfrac{d^2z}{dt^2} \end{aligned} \right. \].

Caractériser un mouvement

La nature d'un mouvement se déduit de la forme de la trajectoire et de l'évolution des vecteurs vitesse et accélération :

Un mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite : les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{a}$ sont alors colinéaires (ou $\vec{a} = \vec{0}$).
Un mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur vitesse est constant (même direction, même sens, même valeur) : $\vec{a} = \vec{0}$.
Un mouvement est rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire est une droite et si le vecteur accélération est constant : la valeur de la vitesse varie alors proportionnellement au temps.

Pour un mouvement rectiligne, si $\vec{a}$ et $\vec{v}$ sont de même sens, le mouvement est accéléré ; s'ils sont de sens opposés, il est ralenti.

Une bille lâchée sans vitesse initiale tombe en chute libre : sa trajectoire est verticale et son accélération est constante, $\vec{a} = \vec{g}$ avec $g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Son mouvement est rectiligne uniformément accéléré : sa vitesse augmente de 9,8 m/s chaque seconde (voir l'exercice 6).

Pour caractériser un mouvement rectiligne, on regarde le vecteur accélération : nul, le mouvement est uniforme ; constant, il est uniformément accéléré. Le mouvement circulaire sera étudié dans le chapitre sur les satellites.

Bilan

L'essentiel à retenir du chapitre.

Vecteurs : coordonnées et norme

Les coordonnées d'un vecteur sont ses projections sur les axes (des nombres).
Norme (longueur, toujours positive) : $V = \sqrt{V_x^2 + V_z^2}$.
Si le vecteur fait un angle α avec l'axe (O, x) :

\[ \vec{V} \left| \begin{aligned} & V_x = V \times \cos\alpha \\ & V_z = V \times \sin\alpha \end{aligned} \right. \]

Dérivée d'un vecteur

Les coordonnées du vecteur dérivé $\dfrac{d\vec{V}}{dt}$ sont les dérivées des coordonnées de $\vec{V}$.
La dérivée d'une constante est nulle ; celle de $t^2$ est $2t$.

\[ \dfrac{d\vec{V}}{dt} \left| \begin{aligned} & \dfrac{dV_x}{dt} \\ & \dfrac{dV_z}{dt} \end{aligned} \right. \]

Vecteur position

La position du point M est repérée par $\overrightarrow{OM}$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
Ses coordonnées x, y, z dépendent du temps si M est en mouvement.

\[ \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} & x(t) \\ & y(t) \\ & z(t) \end{aligned} \right. \]

Vecteur vitesse

$\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$ : dérivée du vecteur position.
Toujours tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} & v_x = \dfrac{dx}{dt} \\ & v_y = \dfrac{dy}{dt} \\ & v_z = \dfrac{dz}{dt} \end{aligned} \right. \]

Vecteur accélération

$\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$ : dérivée de la vitesse, dérivée seconde de la position.

\[ \vec{a} \left| \begin{aligned} & a_x = \dfrac{dv_x}{dt} \\ & a_y = \dfrac{dv_y}{dt} \\ & a_z = \dfrac{dv_z}{dt} \end{aligned} \right. \]

Caractériser un mouvement

Rectiligne uniforme : $\vec{v}$ constant, donc $\vec{a} = \vec{0}$.
Rectiligne uniformément accéléré : trajectoire droite et $\vec{a}$ constant, colinéaire à $\vec{v}$.
Exemple : la chute libre, avec $a = g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Exercices

Exercice 1: texte à trous

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2: Vrai ou faux?

Un vecteur $\vec{V}$ est représenté dans le repère $(O,\vec{i},\vec{k})$.

📝 Réponds par Vrai ou faux:

Exercice 3 : Question ouverte 📄 ✏️ 🧮

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Montrer que l'angle du vecteur $\vec{V}$ avec l'axe (O,x) est α $\simeq$ 37°

💡 Indice

Lisez les coordonnées $V_x$ et $V_z$ sur le schéma : elles forment les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle. Quelle relation de trigonométrie relie l'angle α au côté opposé et au côté adjacent ?

Plaçons-nous dans le triangle rectangle dont V est l'hypoténuse:

Côté adjacent à α: $ V_{x} = 4$
Côté opposé à α: $ V_{z} = 3 $
Tangente de α: $ \tan\alpha= \dfrac{opposé}{adjacent} \ = \dfrac{V_z}{V_x} $

Pour trouver α, on utilise la fonction réciproque de la tangente $ \alpha = \arctan\left(\dfrac{V_z}{V_x}\right) $

Application numérique :

$ \alpha = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right) \simeq 37^\circ $ (arrondi à l'unité)

⚠️ La calculatrice doit être configurée en degrés, sinon le résultat est donné en radians: α $\simeq$ 0,6435 radians.

Exercice 4: QCM

📝 Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes?

Le vecteur position d'un point M a pour coordonnées (x, y, z)
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
Le vecteur vitesse est orthogonal à la trajectoire.
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
Le vecteur vitesse est la dérivée seconde du vecteur position.

Exercice 5 : Question ouverte 📄 ✏️ 🧮

Un point M est décrit dans le repère $(O,\vec{i},\vec{k})$ par son vecteur position (t est le temps, en secondes, et les longueurs sont en mètres) :

$ \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} & x = t \\ & z = 2t+1 \end{aligned} \right. $

📖

1. Déterminer la position du point M au début du mouvement.

💡 Indice

Le début du mouvement correspond à l'instant t = 0 : remplacez t par 0 dans chaque coordonnée.

À l'instant initial, t = 0. On a donc :

$ \overrightarrow{OM_0} \left| \begin{aligned} & x_0 = 0 \\ & z_0 = 2 \times 0 + 1 = 1 \end{aligned} \right. $

Le point M part du point $M_0(0\,;1)$.

📖

2. Écrire les coordonnées du vecteur vitesse. Que peut-on en conclure sur le mouvement ?

💡 Indice

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : $v_x = \dfrac{dx}{dt}$ et $v_z = \dfrac{dz}{dt}$. Regardez ensuite si ces coordonnées dépendent du temps.

Le vecteur vitesse s'écrit :

$ \vec{v} \left| \begin{aligned} & v_x=\dfrac{dx}{dt} = 1 \\ & v_z=\dfrac{dz}{dt} = 2 \end{aligned} \right. $

Les coordonnées du vecteur vitesse ne dépendent pas du temps : le vecteur vitesse est constant, il s'agit donc d'un mouvement rectiligne et uniforme.

📖

3. Écrire les coordonnées du vecteur accélération. Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ?

💡 Indice

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse. Quelle est la dérivée d'une constante ?

Dérivons une nouvelle fois pour obtenir le vecteur accélération :

$ \vec{a} \left| \begin{aligned} & a_x=\dfrac{dv_x}{dt} = 0 \\ & a_z=\dfrac{dv_z}{dt} = 0 \end{aligned} \right. $

L'accélération est nulle. Cela confirme la nature rectiligne et uniforme du mouvement.

📖

4. Calculer la valeur de la vitesse du point M.

💡 Indice

La valeur de la vitesse est la norme du vecteur vitesse : pensez au théorème de Pythagore.

On rappelle que $v=\sqrt{v_x^2+v_z^2}$.

$v=\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} \simeq 2{,}2\ \text{m/s}$

Exercice 6 : Question ouverte 📄 ✏️ 🧮

Un point M est décrit dans le repère $(O,\vec{i},\vec{k})$ par son vecteur position (t est le temps, en secondes, et les longueurs sont en mètres) :

$ \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} & x = 2 \\ & z = -\dfrac{1}{2}\times 9{,}8\, t^2+5 \end{aligned} \right. $

📖

1. Déterminer la position du point M au début du mouvement.

💡 Indice

Remplacez t par 0 dans chaque coordonnée. Attention, x ne dépend pas du temps !

À l'instant initial, t = 0. On a donc :

$ \overrightarrow{OM_0} \left| \begin{aligned} & x_0 = 2 \\ & z_0 = 5 \end{aligned} \right. $

Le point M part du point $M_0(2\,;5)$.

📖

2. Écrire les coordonnées du vecteur vitesse et décrire sa direction et son sens.

💡 Indice

Dérivez chaque coordonnée par rapport au temps. La dérivée d'une constante est nulle et celle de $t^2$ est $2t$.

Le vecteur vitesse s'écrit :

$ \vec{v} \left| \begin{aligned} & v_x=\dfrac{dx}{dt} = 0 \\ & v_z=\dfrac{dz}{dt} = -9{,}8\times t \end{aligned} \right. $

Le vecteur vitesse est vertical ($v_x = 0$), dirigé vers le bas ($v_z < 0$ pour t > 0) et sa coordonnée $v_z$ est proportionnelle au temps.

📖

3. Écrire les coordonnées du vecteur accélération et en déduire la nature du mouvement.

💡 Indice

Dérivez une nouvelle fois. Une accélération constante et une trajectoire droite : quel type de mouvement ?

Dérivons une nouvelle fois pour obtenir le vecteur accélération :

$ \vec{a} \left| \begin{aligned} & a_x=\dfrac{dv_x}{dt} = 0 \\ & a_z=\dfrac{dv_z}{dt} = -9{,}8 \end{aligned} \right. $

L'accélération est constante et dirigée vers le bas. Comme x reste égal à 2, la trajectoire est une droite verticale : le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré.

C'est un cas typique de chute libre : $a = 9{,}8\ \text{m.s}^{-2}$, c'est l'intensité de la pesanteur g !

📖

4. Exprimer la valeur de la vitesse v en fonction du temps, puis la calculer à t = 1,0 s.

💡 Indice

Utilisez $v=\sqrt{v_x^2+v_z^2}$. Une valeur de vitesse est toujours positive.

$ v=\sqrt{v_x^2+v_z^2} = \sqrt{0^2+(-9{,}8\times t)^2} = 9{,}8\times t $ (pour t ≥ 0).

$ v(1{,}0) = 9{,}8 \times 1{,}0 = 9{,}8\ \text{m/s} $

La vitesse augmente de 9,8 m/s chaque seconde : c'est bien la signification de $a = 9{,}8\ \text{m.s}^{-2}$.