Rappels sur les vecteurs et la dérivée
Coordonnées d'un vecteur
Trois vecteurs sont représentés dans le repère (\(O,\vec{i},\vec{k}\))
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Les coordonnées d'un vecteur \(\vec{V}\) sont les projections de ce vecteur sur chacun des axes:
- La coordonnée \(\mathrm{V}_{1x}\) est la projection du vecteur sur l'axe (O, x).
- La coordonnée \(\mathrm{V}_{1z}\) est la projection du vecteur sur l'axe (O, z).
- On écrit le plus souvent les coordonnées en colonne: \[ \vec{V} \left| \begin{aligned} V_{x}\\ V_{z} \end{aligned} \right. \].
\[ \vec{V}_1 \left| \begin{aligned} V_{1x} &= 4\\ V_{1z} &= 5 \end{aligned} \right. \] \[ \vec{V}_2 \left| \begin{aligned} V_{2x} &= 5\\ V_{2z} &= 0 \end{aligned} \right. \] \[ \vec{V}_3 \left| \begin{aligned} V_{3x} &= 0\\ V_{3z} &= -6 \end{aligned} \right. \]
Norme d'un vecteur
Dans le repère (\(O,\vec{i},\vec{k}\)), la norme d´un vecteur \(\vec{V}\) s´écrit :
En effet, \(\mathrm{V}\), \(\mathrm{V_x}\) et \(\mathrm{V_z}\) sont les longueurs d'un triangle rectangle avec \(\mathrm{V}\) longueur de l'hypothénuse:
Projection d'un vecteur sur un axe
Si un vecteur \(\vec{V}\) fait un angle α avec l´axe (O,x), on peut écrire ses coordonnées en fonction de sa norme et de l´angle α: \[ \vec{V} \left| \begin{aligned} V_{x} &= V\times cosα\\ V_{z} &= V\times sinα \end{aligned} \right. \]
Dérivée d'un vecteur
Si le vecteur \(\vec{V}\)est en mouvement dans ce référentiel, ses coordonnées varient dans le temps. Le vecteur \( \dfrac{d\vec{V}}{dt} \) décrit les variations de \(\vec{V}\) dans le temps.
Ses coordonnées s'écrivent:
Position, vitesse et accélération
Le vecteur position
Dans l´espace à trois dimensions, la position d´un point M est représentée par le vecteur
position \( \overrightarrow{OM} \) dans le
repère (\(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\)). S’il est en mouvement, ses coordonnées dépendent du temps.
Ses coordonnées s´'ecrivent: \[ \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} x\\ y\\ z \end{aligned} \right. \].
x, y et z sont les coordonnées du point M à chaque instant.
Le vecteur vitesse
C'est le vecteur qui représente les variations du vecteur \( \overrightarrow{OM} \) dans le temps. Il s'agit donc du vecteur dérivé de \( \overrightarrow{OM} \):
Ses coordonnées s´écrivent: \[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x=\dfrac{dx}{dt}\\ v_y=\dfrac{dy}{dt}\\ v_z=\dfrac{dz}{dt} \end{aligned} \right. \].
Rappel : le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.
Le vecteur accélération
Le vecteur qui décrit les variations du vecteur \( \vec{v} \) dans le temps est le vecteur accélération:
Et comme la vitesse est elle même la dérivée de la position, on peut aussi écrire : \( \vec{a} =
\dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2} \).
L'accélération
est la dérivée seconde de la position.
Ses coordonnées s'écrivent: \[ \vec{a} \left| \begin{aligned} a_x=\dfrac{dv_x}{dt}= \dfrac{d^2x}{dt^2}\\ a_y=\dfrac{dv_y}{dt}= \dfrac{d^2y}{dt^2}\\ a_z=\dfrac{dv_z}{dt}= \dfrac{d^2z}{dt^2} \end{aligned} \right. \].
Exercices
Un vecteur \(\vec{V}\) est représenté dans le repère \(O,\vec{i},\vec{k}\)
Exercice 3 : Question ouverte 📄 ✏️ 🧮
Plaçons-nous dans le triangle rectangle dont V est l'hypothénuse:
- Côté adjacent à α: \( V_{x} = 4\)
- Côté opposé à α: \( V_{z} = 3 \)
- Tangente de α: \( \tan\alpha= \dfrac{opposé}{adjacent} \ = \dfrac{V_z}{V_x} \)
Pour trouver α, on utilise la fonction réciproque de la tangente \( \alpha = \arctan\left(\dfrac{V_z}{V_x}\right) \)
Application numérique :
\( \alpha = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right) \simeq 37^\circ \) (arrondi à l'unité)
⚠️ La calculatrice doit-être configurée en degrés, sinon le résultat est donné en radians: α \(\simeq\) 0,6435 radians.
- Le vecteur position d'un point M a pour coordonnées (x, y, z)
- Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
- Le vecteur vitesse est orthogonal à la trajectoire.
- Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
- Le vecteur vitesse est la dérivée seconde du vecteur position.
Exercice 5 : Question ouverte 📄 ✏️ 🧮
Un point M est décrit dans le repère (\(O,\vec{i},\vec{k}\)) par son vecteur position (t est le temps):
\( \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} & x = t \\ & z = 2t+1 \end{aligned} \right. \)
Calculer enfin la valeur de la vitesse du point M.
À l'instant initial, t=0. On a donc:
\( \overrightarrow{OM_0} \left| \begin{aligned} & x_0 = 0 \\ & z_0 = 1 \end{aligned} \right. \)Le vecteur vitesse s'écrit : \( \vec{v} \left| \begin{aligned} & v_x=\dfrac{dx}{dt} = 1 \\ & v_z=\dfrac{dz}{dt} = 2 \end{aligned} \right. \).
Les coordonnées du vecteur vitesse ne dépendent pas du temps, il s'agit donc d'un mouvement rectiligne et uniforme.
Dérivons une nouvelle fois pour avoir le vecteur accélération : \( \vec{a} \left| \begin{aligned} & a_x=\dfrac{dv_x}{dt} = 0 \\ & a_z=\dfrac{dv_z}{dt} = 0 \end{aligned} \right. \).
L'accélération est nulle. Cela confirme la nature rectiligne et uniforme du mouvement.
Calculons enfin la norme du vecteur vitesse:
\(v=\sqrt{1^2+2^2} = 2,2 m/s\) (si les longueurs sont données en mètre).
Exercice 6 : Question ouverte 📄 ✏️ 🧮
Un point M est décrit dans le repère (\(O,\vec{i},\vec{k}\)) par son vecteur position (t est le temps):
\( \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} & x = 2 \\ & z = -\dfrac{1}{2}\times 9,8 t^2+5 \end{aligned} \right. \)
Calculer enfin la valeur de la vitesse du point M.
À l'instant initial, t=0. On a donc:
\( \overrightarrow{OM_0} \left| \begin{aligned} & x_0 = 2 \\ & z_0 = 5 \end{aligned} \right. \)Le vecteur vitesse s'écrit : \( \vec{v} \left| \begin{aligned} & v_x=\dfrac{dx}{dt} = 0 \\ & v_z=\dfrac{dz}{dt} = -9,8\times t \end{aligned} \right. \).
On a un vecteur vitesse verticale et dirigé vers le bas qui est proportionnel au temps.
Dérivons une nouvelle fois pour avoir le vecteur accélération : \( \vec{a} \left| \begin{aligned} & a_x=\dfrac{dv_x}{dt} = 0 \\ & a_z=\dfrac{dv_z}{dt} = -9,8 \end{aligned} \right. \).
L'accélération est constante et dirigée vers le bas. Cela nous laisse à penser que le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré.
C'est un cas typique de chute libre.