La force de gravitation

Physique-chimie Troisième

L'interaction gravitationnelle

Deux corps qui s'attirent

À la fin du XVIIe siècle, Isaac Newton comprend que la force qui fait tomber une pomme est la même que celle qui retient la Lune autour de la Terre, et les planètes autour du Soleil.

Deux corps qui ont une masse s'attirent mutuellement : c'est l'interaction gravitationnelle. C'est une action à distance : elle s'exerce sans contact.
ABFA/BFB/Addistance entre les centres

Le corps A exerce sur le corps B une force notée \(F_{A/B}\), et le corps B exerce sur le corps A une force notée \(F_{B/A}\). On représente chacune par une flèche :

  • direction : la droite qui relie les centres des deux corps ;
  • sens : vers l'autre corps (la force est attractive) ;
  • valeur : la même pour les deux forces, \(F_{A/B} = F_{B/A}\). Les deux flèches ont donc la même longueur.

La formule de Newton

Newton établit la formule qui permet de calculer la valeur de cette force :

\[ F_{A/B} = G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^2} \coupure \quad \text{avec} \quad \begin{array}{|l} F_{A/B} \text{ : la force exercée par A sur B, en newtons (N)} \\[4pt] G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2} \text{ : la constante de gravitation universelle} \\[4pt] m_A \text{ et } m_B \text{ : les masses de A et de B, en kilogrammes (kg)} \\[4pt] d \text{ : la distance entre les centres de A et de B, en mètres (m)} \end{array} \]
  • Cette formule n'est pas à connaître par cœur : elle est donnée au brevet. Il faut en revanche savoir l'utiliser.
  • Plus les masses sont grandes, plus la force est grande.
  • Plus la distance est grande, plus la force est petite. La distance est au carré : si elle double, la force est divisée par 4.
  • ⚠️ Erreur la plus fréquente : oublier le carré de la distance. Au dénominateur, on écrit \(d^2\), pas d !
  • ⚠️ La distance doit toujours être convertie en mètres !

Convertir les distances en mètres

C'est la principale difficulté des calculs de gravitation : les distances sont souvent données en kilomètres, et elles sont très grandes. On utilise l'écriture scientifique.

  • \(10^{3} = 1000\) ; \(10^{6} = 1\,000\,000\) (un million) ; \(10^{9}\) = un milliard.
  • \(10^{-11} = 0{,}000\,000\,000\,01\) : l'exposant négatif donne un très petit nombre.
  • Écriture scientifique : un nombre entre 1 et 10 (exclu) multiplié par une puissance de 10, par exemple \(384\,400\,000 = 3{,}844 \times 10^{8}\).
  • \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\).
Méthode : 1 km = 1000 m = \(10^{3}\) m, donc pour convertir des km en m, on multiplie par 1000 (on ajoute 3 à l'exposant).
Distanceen kmen m
Terre-Lune384 400 km\(384\,400 \times 10^{3} = 3{,}844 \times 10^{8}\ \text{m}\)
rayon de la Terre6 371 km\(6\,371 \times 10^{3} = 6{,}371 \times 10^{6}\ \text{m}\)
Terre-Soleil\(1{,}50 \times 10^{8}\) km\(1{,}50 \times 10^{8} \times 10^{3} = 1{,}50 \times 10^{11}\ \text{m}\)

Calculer avec la calculatrice : attention aux pièges

Le calcul est long, et une seule erreur de saisie donne un résultat complètement faux. Voici les règles à suivre :

  • Ne pas oublier le carré de la distance : c'est l'erreur la plus fréquente. Le résultat est alors faux d'un facteur énorme (\(10^{8}\) pour la distance Terre-Lune).
  • Pour saisir une puissance de 10, on utilise la touche ×10x (ou EXP, EE) : \(6{,}67 \times 10^{-11}\) se tape 6,67 ×10x (−) 11, et s'affiche par exemple 6.67E-11. Le nom des touches et l'affichage dépendent du modèle de calculatrice : on peut voir 6.67E-11, 6.67ᴇ-11 ou 6.67×10⁻¹¹. Repère les bonnes touches sur la tienne !
  • Pour l'exposant négatif, on utilise la touche (−) du signe moins, et pas la touche de la soustraction.
  • Le dénominateur entier va entre parenthèses, avec le carré à l'extérieur : ÷ (3.844E8)².

Dans le tableau ci-dessous, les saisies sont écrites comme sur beaucoup de calculatrices ; sur la tienne, l'affichage peut être un peu différent, mais les pièges sont les mêmes.

SaisieRésultat
6.67E-11×5.97E24×7.34E22÷(3.844E8)²\(1{,}98 \times 10^{20}\)✅ juste
6.67E-11×5.97E24×7.34E22÷3.844E8\(7{,}60 \times 10^{28}\)❌ carré oublié
6.67E-11×5.97E24×7.34E22÷(384400)²\(1{,}98 \times 10^{26}\)❌ distance en km
6.67×10^-11×5.97×10^24×7.34×10^22÷3.844×10^8²\(7{,}6 \times 10^{52}\)❌ sans parenthèses : on divise par 3,844, puis on multiplie par \(10^{16}\) !
Toujours vérifier l'ordre de grandeur du résultat : une force entre deux astres est énorme, une force entre deux objets de la vie courante est minuscule.

Calcule les forces suivantes. Donnée : \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}\). 📄 ✏️ 🧮

📖
1. Force exercée par un objet A de 1 kg sur un objet B de 1 kg, séparés de 1 m.

\(F_{A/B} = G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1 \times 1}{1^2} = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\) : une force minuscule, impossible à ressentir.

📖
2. Force exercée par la Terre sur la Lune. Données : \(m_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}\) ; \(m_L = 7{,}34 \times 10^{22}\ \text{kg}\) ; \(d_{T/L} = 384\,400\ \text{km}\).

On convertit d'abord : \(d = 384\,400\ \text{km} = 3{,}844 \times 10^{8}\ \text{m}\).

\(F_{T/L} = G \times \dfrac{m_T \times m_L}{d^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}34 \times 10^{22}}{(3{,}844 \times 10^{8})^2} = 1{,}98 \times 10^{20}\ \text{N}\).

La gravitation à la surface d'un astre

Poids et force de gravitation

Pour un objet posé à la surface de la Terre, la distance entre son centre et celui de la Terre est égale au rayon de la Terre : \(d = R_T = 6\,371\ \text{km}\).

Un homme de masse \(m = 70\ \text{kg}\) se tient à la surface de la Terre. Données : \(m_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}\) ; \(R_T = 6\,371\ \text{km}\) ; \(g = 9{,}8\ \text{N/kg}\). 📄 ✏️ 🧮

📖
1. Calcule la force de gravitation exercée par la Terre sur cet homme.

\(d = R_T = 6\,371\ \text{km} = 6{,}371 \times 10^{6}\ \text{m}\).

\(F = G \times \dfrac{m_T \times m}{d^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24} \times 70}{(6{,}371 \times 10^{6})^2} = 687\ \text{N}\).

📖
2. Calcule son poids avec la formule du chapitre sur le poids. Que remarques-tu ?

\(P = m \times g = 70 \times 9{,}8 = 686\ \text{N}\) : on trouve pratiquement la même valeur que la force de gravitation.

Le poids d'un objet à la surface de la Terre est, en très bonne approximation, la force de gravitation que la Terre exerce sur lui.

Calcul de l'intensité de la pesanteur

Retrouvez vous-même l'expression de g. Avancez étape par étape : cherchez d'abord, utilisez l'indice si besoin, puis cliquez sur la question pour vérifier votre réponse.

📖
1. Écris l'égalité entre le poids d'un objet de masse m et la force de gravitation exercée par la Terre à sa surface.
💡 Indice Le poids vaut \(P = m \times g\) ; la force de gravitation s'écrit avec \(d = R_T\).
\[ m \times g = G \times \dfrac{m_T \times m}{R_T^2} \]
📖
2. Simplifie cette égalité pour isoler g.
💡 Indice Divise les deux membres par m.

La masse m de l'objet apparaît des deux côtés : on divise par m, et on obtient l'expression de g ci-dessous.

L'intensité de la pesanteur à la surface d'un astre de masse \(m_{\text{astre}}\) et de rayon \(R\) vaut donc :

\[ g = G \times \dfrac{m_{\text{astre}}}{R^2} \]

Elle ne dépend pas de l'objet, seulement de l'astre : c'est pourquoi g est différente sur la Terre, sur la Lune ou sur Jupiter.

Données : \(m_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}\) ; \(R_T = 6{,}371 \times 10^{6}\ \text{m}\). 📄 ✏️ 🧮

📖
1. Calcule l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre.

\(g = G \times \dfrac{m_T}{R_T^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}}{(6{,}371 \times 10^{6})^2} = 9{,}81\ \text{N/kg}\) : on retrouve bien \(g \approx 9{,}8\ \text{N/kg}\).

Dans la Station spatiale internationale, à 400 km d'altitude, la force de gravitation exercée par la Terre vaut encore près de 90 % de sa valeur au sol. Si les astronautes flottent, c'est que la station et eux « tombent » ensemble en permanence autour de la Terre : c'est l'impesanteur.

Complément historique : la forme de la Terre

Une sphère aplatie aux pôles

Gravure de Pierre Louis Moreau de Maupertuis, la main posée sur un globe terrestre qu'il aplatit

Au début du XVIIIe siècle, les savants se disputent : la Terre est-elle aplatie aux pôles, comme le prévoit Newton, ou allongée, comme le pensent certains astronomes français ?

En 1735, l'Académie des sciences de Paris lance deux expéditions pour mesurer la longueur d'un degré de méridien : l'une en Laponie, près du cercle polaire (Maupertuis, Clairaut, Celsius), l'autre en Équateur (Godin, Bouguer, La Condamine, Jussieu). Après une aventure de près de dix ans pleine de rebondissements, le résultat est clair : la Terre est une sphère légèrement aplatie aux pôles.

Sur cette gravure de 1741 (Jean Daullé, d'après un portrait de Robert Levrac-Tournières), le chef de l'expédition de Laponie, le mathématicien Pierre Louis Moreau de Maupertuis, pose fièrement la main sur le globe terrestre, comme pour l'aplatir : il porte le bonnet de fourrure de son voyage au cercle polaire. Les vers de Voltaire gravés sous le portrait célèbrent l'homme qui a su « fixer la figure du monde ».

Sphère aplatie aux pôles, avec ses méridiens et ses parallèles

Voici la forme découverte par les expéditions, une sphère aplatie aux pôles, comme une mandarine. Attention, l'aplatissement est ici très exagéré : le rayon de la Terre au pôle (6 357 km) n'est plus petit que celui à l'équateur (6 378 km) que de 21 km, soit 0,3 %. Vue de l'espace, la Terre paraît parfaitement ronde.

L'explication vient de la rotation de la Terre sur elle-même : en tournant, elle s'est légèrement « renflée » à l'équateur. Conséquence : aux pôles, on est un peu plus près du centre de la Terre, et l'intensité de la pesanteur y est un peu plus grande (environ 9,83 N/kg aux pôles contre 9,78 N/kg à l'équateur).

Le géoïde

Le géoïde : la Terre représentée avec des bosses et des creux colorés selon la gravité

Aujourd'hui, des satellites mesurent la gravité tout autour de la Terre avec une grande précision. Elle n'est pas la même partout : en exagérant ces différences, on obtient cette image « cabossée » de la Terre, appelée le géoïde.

Ces irrégularités s'expliquent par la répartition des masses : montagnes et fosses océaniques, roches plus ou moins denses dans le sous-sol, épaisseur variable de la croûte terrestre…

Bilan

L'essentiel à retenir du chapitre.

L'interaction gravitationnelle

  • Deux corps qui ont une masse s'attirent mutuellement, à distance.
  • Flèches : direction = droite qui relie les centres ; sens = vers l'autre corps.
  • \(F_{A/B} = F_{B/A}\) : même valeur.

La formule de Newton (donnée)

\[ F_{A/B} = G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^2} \]
  • F en N, masses en kg, d en mètres ; \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\).
  • 1 km = \(10^{3}\) m : on ajoute 3 à l'exposant.
  • Distance doublée : force divisée par 4.

La calculatrice

  • Puissances de 10 avec la touche ×10x (EXP, EE) ; le nom des touches et l'affichage dépendent du modèle.
  • Exposant négatif avec la touche (−).
  • Ne pas oublier le carré de la distance.
  • Dénominateur entre parenthèses : ÷ (3.844E8)².
  • Vérifier l'ordre de grandeur.

À la surface d'un astre

  • Poids ≈ force de gravitation de l'astre, avec d = rayon de l'astre.
  • \(g = G \times \dfrac{m_{\text{astre}}}{R^2}\) : 9,8 N/kg sur la Terre.

Exercices

Exercice 1 : texte à trous sur la gravitation ✏️

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2 : Vrai ou faux sur la force de gravitation ✏️

📝 Réponds par Vrai ou Faux :

Exercice 3 : convertir les distances en mètres 🧮

📝 Convertis chaque distance en mètres, puis vérifie tes réponses. Tu peux écrire le nombre en entier (384400000) ou en écriture scientifique (3,844×10^8 ou 3,844E8).
💡 Indice 1 km = 1000 m = 10³ m : on multiplie par 1000, c'est-à-dire qu'on ajoute 3 à l'exposant de la puissance de 10.
Distanceen kmen m
Distance Terre-Lune384 400 km
Rayon de la Terre6 371 km
Altitude de la Station spatiale400 km
Rayon de la Lune1 737 km
Altitude d'un satellite géostationnaire35 786 km
Distance Terre-Soleil1,50 × 10⁸ km

Exercice 4 : QCM sur la saisie à la calculatrice ✏️ 🧮

📝 Léa veut calculer la force exercée par la Terre sur la Lune (\(m_T = 5{,}97 \times 10^{24}\) kg ; \(m_L = 7{,}34 \times 10^{22}\) kg ; d = 384 400 km). Quelles saisies donnent le bon résultat ? (plusieurs réponses possibles ; l'affichage peut être un peu différent selon le modèle de calculatrice)
  • 6.67×10^-11×5.97×10^24×7.34×10^22÷3.844×10^8²
  • 6.67E-11×5.97E24×7.34E22÷(3.844E8)²
  • 6.67E-11×5.97E24×7.34E22÷(384400)²
  • (6.67E-11×5.97E24×7.34E22)÷(3.844E8)²
  • 6.67E-11×5.97E24×7.34E22÷(3.844E8)
📖
1. Explique l'erreur commise dans chacune des saisies fausses.
💡 Indice Cherche une saisie où la distance n'est pas en mètres, une où le carré manque, et une où les parenthèses manquent.
  • Première saisie : sans parenthèses, la calculatrice divise seulement par 3,844, puis multiplie par la puissance de 10 au carré.
  • Troisième saisie : la distance est restée en kilomètres.
  • Dernière saisie : le carré de la distance a été oublié.

Résultat juste : \(F_{T/L} = 1{,}98 \times 10^{20}\ \text{N}\).

Exercice 5 : le Soleil et la Terre 📄 ✏️ 🧮

Données : \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}\) ; masse du Soleil \(m_S = 1{,}99 \times 10^{30}\ \text{kg}\) ; masse de la Terre \(m_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}\) ; distance Terre-Soleil \(d = 1{,}50 \times 10^{8}\ \text{km}\) ; force exercée par la Terre sur la Lune : \(1{,}98 \times 10^{20}\ \text{N}\).

📖
1. Convertis la distance Terre-Soleil en mètres.
💡 Indice 1 km = 10³ m : on ajoute 3 à l'exposant.

\(d = 1{,}50 \times 10^{8}\ \text{km} = 1{,}50 \times 10^{8} \times 10^{3}\ \text{m} = 1{,}50 \times 10^{11}\ \text{m}\).

📖
2. Calcule la force de gravitation exercée par le Soleil sur la Terre.
💡 Indice \(F_{S/T} = G \times \dfrac{m_S \times m_T}{d^2}\). N'oublie pas les parenthèses autour de la distance au carré.

\(F_{S/T} = G \times \dfrac{m_S \times m_T}{d^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}99 \times 10^{30} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{(1{,}50 \times 10^{11})^2} = 3{,}52 \times 10^{22}\ \text{N}\).

📖
3. Que vaut la force exercée par la Terre sur le Soleil ?
💡 Indice Pense à l'interaction : A attire B et B attire A.

La même valeur : \(F_{T/S} = F_{S/T} = 3{,}52 \times 10^{22}\ \text{N}\), dirigée vers la Terre.

📖
4. Combien de fois cette force est-elle plus grande que la force exercée par la Terre sur la Lune ?
💡 Indice Divise la plus grande force par la plus petite.

\(\dfrac{F_{S/T}}{F_{T/L}} = \dfrac{3{,}52 \times 10^{22}}{1{,}98 \times 10^{20}} \approx 178\) : environ 180 fois plus grande.

Exercice 6 : la Station spatiale internationale 📄 ✏️ 🧮

La Station spatiale internationale (ISS), de masse \(m = 4{,}2 \times 10^{5}\ \text{kg}\), tourne autour de la Terre à l'altitude h = 400 km. Données : \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}\) ; \(m_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}\) ; \(R_T = 6\,371\ \text{km}\) ; g = 9,8 N/kg au sol.

📖
1. Calcule la distance d entre le centre de la Terre et la station, en km puis en m.
💡 Indice La station est à 400 km au-dessus de la surface : il faut ajouter le rayon de la Terre.

\(d = R_T + h = 6\,371 + 400 = 6\,771\ \text{km} = 6{,}771 \times 10^{6}\ \text{m}\).

📖
2. Calcule la force de gravitation exercée par la Terre sur la station.
💡 Indice \(F = G \times \dfrac{m_T \times m}{d^2}\), avec d en mètres, entre parenthèses et au carré.

\(F = G \times \dfrac{m_T \times m}{d^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24} \times 4{,}2 \times 10^{5}}{(6{,}771 \times 10^{6})^2} = 3{,}65 \times 10^{6}\ \text{N}\).

📖
3. Calcule le poids qu'aurait la station posée au sol, puis compare les deux forces.
💡 Indice \(P = m \times g\), puis calcule le rapport \(\dfrac{F}{P}\).

\(P = m \times g = 4{,}2 \times 10^{5} \times 9{,}8 = 4{,}12 \times 10^{6}\ \text{N}\). \(\dfrac{F}{P} = \dfrac{3{,}65 \times 10^{6}}{4{,}12 \times 10^{6}} = 0{,}89\) : la force vaut encore 89 % du poids au sol.

📖
4. Les astronautes flottent dans la station. La Terre les attire-t-elle encore ?
💡 Indice Regarde le résultat de la question précédente.

Oui, presque autant qu'au sol ! S'ils flottent, c'est que la station et eux « tombent » ensemble en permanence autour de la Terre : c'est l'impesanteur.

Exercice 7 : la pesanteur sur la Lune 📄 ✏️ 🧮

Données : \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}\) ; masse de la Lune \(m_L = 7{,}34 \times 10^{22}\ \text{kg}\) ; rayon de la Lune \(R_L = 1\,737\ \text{km}\) ; \(g = G \times \dfrac{m_{\text{astre}}}{R^2}\).

📖
1. Convertis le rayon de la Lune en mètres.
💡 Indice 1 km = 10³ m.

\(R_L = 1\,737\ \text{km} = 1{,}737 \times 10^{6}\ \text{m}\).

📖
2. Calcule l'intensité de la pesanteur à la surface de la Lune. Compare avec la valeur vue dans le chapitre sur le poids.
💡 Indice Applique la formule donnée, avec le rayon entre parenthèses.

\(g_L = G \times \dfrac{m_L}{R_L^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7{,}34 \times 10^{22}}{(1{,}737 \times 10^{6})^2} = 1{,}62\ \text{N/kg}\) : on retrouve la valeur \(g_L \approx 1{,}6\ \text{N/kg}\).

📖
3. Un astronaute équipé de sa combinaison a une masse de 120 kg. Calcule son poids sur la Lune, puis sur la Terre (g = 9,8 N/kg).
💡 Indice \(P = m \times g\) ; la masse ne change pas.

Sur la Lune : \(P_L = m \times g_L = 120 \times 1{,}62 = 195\ \text{N}\). Sur la Terre : \(P_T = m \times g = 120 \times 9{,}8 = 1176\ \text{N}\), six fois plus.

Exercice 8 : que devient la force si… 📄 ✏️

Deux boules A et B s'attirent avec une force de valeur \(F = G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^2}\). Sans faire de calcul numérique, réponds aux questions.

📖
1. Que devient la force si on double la masse de A ?
💡 Indice La masse de A est au numérateur.

Elle est multipliée par 2.

📖
2. Que devient la force si on double la distance entre A et B ?
💡 Indice La distance est au dénominateur, et elle est au carré : \(2^2 = 4\).

Elle est divisée par 4.

📖
3. Que devient la force si on divise la distance par 2 ?
💡 Indice Même raisonnement en sens inverse.

Elle est multipliée par 4.

📖
4. La boule A est dix fois plus lourde que B. Laquelle exerce la plus grande force sur l'autre ?
💡 Indice Pense à l'interaction gravitationnelle.

Aucune : \(F_{A/B} = F_{B/A}\). Les deux forces ont toujours la même valeur, même si les masses sont très différentes.