La conservation de l' énergie mécanique

Quelques définitions

En classe de première, nous avons défini:

L'énergie cinétique $E_c$ : énergie qu’un système possède du fait de son mouvement. Formule: $E_{\mathrm{c}} = \dfrac{1}{2}mv^2$
L'énergie potentielle $E_p$ : énergie qu’un système possède du fait de sa position ou de sa configuration dans un champ de forces. Dans le cas du poids, on la nomme énergie potentielle de pesanteur et se calcule ainsi $ E_{\mathrm{pp}} = mgz $ (z étant l'altitude par rapport au sol).
L'énergie mécanique $E_m$ : somme de l’énergie cinétique et des énergies potentielles d’un système.

Principe de conservation

En l’absence de forces dissipatives (comme les frottements), l’énergie mécanique d’un système reste constante au cours du mouvement.
$E_{\mathrm{m}} = E_c + E_p = constante $

Le graphique ci-contre représente l'évolution des trois formes d'énergie lors d'une chute libre avec vitesse initiale en l'absence de tout frottement.

L'énergie cinétique $E_c$ : diminue jusqu'au sommet de la trajectoire, puis augmente.
L'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ : augmente (l'altitude augmente dans un premier temps) puis diminue.
L'énergie mécanique $E_m$ : reste constante.

Que se passe-t-il en présence de forces dissipatives?

Si l'objet subit des forces de frottements (avec l'air principalement) lors d'une chute libre avec vitesse initiale, le graphique montre que l'énergie mécanique diminue au cours du mouvement.

Il n'y a pas conservation de l'énergie mécanique. Cette énergie a-t-elle disparu ? Nous verrons plus tard que l'énergie initiale d'un système ne peut être ni créée, ni détruite.

On en conclut qu'une partie de l'énergie a été convertie sous une autre forme : de la chaleur principalement.

Retour sur la tour de Pise 📄 ✏️ 🧮

Une bille de masse m=1,0kg et de centre de masse G est lâchée sans vitesse initiale du haut de la tour de Pise de hauteur h=58m. On néglige les forces de frottement.

$E_{m_i}$ l' énergie mécanique de la bille à l'instant initial.
$E_{m_f}$ l' énergie mécanique de la bille à l'instant final: juste avant de toucher le sol.
g l'accélération de la pesanteur: $ g = 9{,}8 \ \text{m.s}^{-2} $

📖

En appliquant le principe de conservation de l' énergie mécanique, déterminer la vitesse $v_{f}$ de la bille, juste avant de toucher le sol.

Exprimons l' énergie mécanique:

À l'instant initial, la vitesse est nulle et l'altitude vaut $h$ : $E_{\mathrm{m_i}} = E_{c_i} + E_{p_i} = 0 + mgh $
Avant de toucher le sol, l'énergie cinétique est maximale et l'altitude est nulle: $E_{\mathrm{m_f}} = E_{c_f} + E_{p_f} = E_{\mathrm{c}} = \dfrac{1}{2}mv{_f}^2\ + 0 $

L'énergie mécanique se conserve donc:

$\dfrac{1}{2}\cancel{m}v{_f}^2\ = \cancel{m}gh $

Comme dans l' étude newtonienne, la masse se simplifie. On obtient: $ v_f = \sqrt{2\times h\times g} $

Faisons l'application numérique: $ v_f = \sqrt{2\times 58\times 9,8} \simeq 34 m.s^{-1}$

On retrouve le résultat du chapitre précédent (aux arrondis près)!

En présence de frottements avec l'air, la vitesse sera légèrement inférieure.

Le théorème de l'énergie cinétique

Qu'est ce que le travail d'une force?

Le travail $ W_{A\rightarrow B}(\vec{F}) $ d'une force agissant sur un corps lors d'un déplacement d'un point A vers un point B mesure l' énergie fournie à ce corps par la force lors de ce déplacement.

Comme toute énergie, il se mesure en Joule (J).

Le travail de la force $\vec{F}$ lors d'un déplacement de A vers B est le produit scalaire du vecteur $\vec{F}$ par $\overrightarrow{AB} $:

$ W_{A\rightarrow B}(\vec{F}) = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F\times AB \times cos\alpha $

Cette expression n'est valable que si la force $\vec{F}$ reste constante lors du déplacement.

Différents cas possibles:

$\alpha=0$ : Le travail est positif et maximal: $ W_{A\rightarrow B}(\vec{F}) = F\times AB$ (car $\cos\alpha=1$)
$0 \leq \alpha < 90°$: Le travail est positif, la force fournit de l' énergie au système, on dit qu'il est moteur.
$\alpha=90°$: Le travail est nul (car $\cos\alpha=0$), il ne contribue pas au mouvement.
$90 < \alpha \leq 180°$: Le travail est négatif, la force retire de l' énergie au système, on dit qu'il est résistant.

Si la force est conservative (comme le poids ou la force électrique), alors le travail ne dépend pas du chemin suivi entre A et B.

Deux travaux à connaître, pour des forces constantes :

Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$, entre deux points d'altitudes $z_A$ et $z_B$ : $ W_{A\rightarrow B}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B) $. Il est moteur si l'objet descend, résistant s'il monte.
La force électrique $\vec{F} = q\vec{E}$ dans un champ uniforme (condensateur plan), avec $U_{AB} = V_A - V_B$ la tension entre A et B : $ W_{A\rightarrow B}(\vec{F}) = q\,\vec{E}\cdot\overrightarrow{AB} = q\,U_{AB} $.

Dans un accélérateur linéaire, un proton ($q = e$) traverse une zone où $U_{AB} = 2{,}0\ \text{kV}$ : la force électrique fournit le travail $W = e\,U_{AB} = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 2{,}0 \times 10^3 = 3{,}2 \times 10^{-16}\ \text{J}$, que le proton gagne en énergie cinétique (théorème de l'énergie cinétique).

Énoncé du théorème

Lors d'un déplacement de A vers B, la variation d' énergie cinétique d'un point matériel est égale à la somme des travaux des forces $\vec{F}$ qui s'appliquent sur ce point matériel:

$$\Delta E_c = E_{c_B} - E_{c_A} = \sum W_{A \to B}(\vec{F})$$

Rappel: $E_{\mathrm{c}} = \dfrac{1}{2}mv^2$

Ce théorème est particulièrement utile si on veut calculer une vitesse (voir exercice).

Bilan

L'essentiel à retenir du chapitre.

Les formes d'énergie

Énergie cinétique : liée au mouvement ; énergie potentielle de pesanteur : liée à l'altitude z.
Énergie mécanique : somme des énergies cinétique et potentielle.
Toute énergie s'exprime en joules (J).

\[ \begin{aligned} & E_c = \dfrac{1}{2} m v^2 \\ & E_{pp} = m g z \\ & E_m = E_c + E_p \end{aligned} \]

Conservation de l'énergie mécanique

En l'absence de forces dissipatives (frottements), l'énergie mécanique est constante.
$ E_{m_i} = E_{m_f} $
Avec des frottements, elle diminue : une partie est convertie en chaleur.

Travail d'une force constante

Énergie fournie (travail moteur, W > 0) ou retirée (travail résistant, W < 0) par une force.
Travail nul si la force est perpendiculaire au déplacement.
Force conservative (poids, force électrique) : le travail ne dépend pas du chemin suivi.
Poids : $W_{A \to B}(\vec{P}) = m g (z_A - z_B)$ ; force électrique : $W_{A \to B}(\vec{F}) = q\,U_{AB}$.

\[ \begin{aligned} W_{A \to B}(\vec{F}) & = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} \\ & = F \times AB \times \cos\alpha \end{aligned} \]

Théorème de l'énergie cinétique

La variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées.
Très utile pour calculer une vitesse.

\[ \begin{aligned} \Delta E_c & = E_{c_B} - E_{c_A} \\ & = \sum W_{A \to B}(\vec{F}) \end{aligned} \]

Méthode

Définir le système, les états initial et final, et faire le bilan des forces.
Sans frottements : écrire $E_{m_i} = E_{m_f}$ ; sinon, appliquer le théorème de l'énergie cinétique.
Travail du poids lors d'une chute de hauteur h : $W(\vec{P}) = m g h$.
Exemple : chute libre sans vitesse initiale, $v_f = \sqrt{2 g h}$ (la masse se simplifie).

Exercices

Exercice 1: texte à trous

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2: QCM

📝 On étudie le mouvement d'un objet de masse 1kg qui se déplace sans frottement sur un axe horizontal. Sa vitesse est $v = 10 m.s^{-1}$. Quelles sont les affirmations exactes?

Son énergie cinétique vaut 10J.
Son énergie cinétique vaut 50J.
Son énergie cinétique vaut 100J.
Son énergie potentielle est constante.
Son énergie mécanique diminue.

Exercice 3: Vrai ou faux? 📄 ✏️ 🧮

Un objet de masse m= 1,0kg est lancé horizontalement du point A avec une vitesse $v_i = 2,0 m.s^{-1}$.

La seule force qu'il subit (le poids et la réaction du sol non représentés se compensent) est la force de frottement $\vec{f}$ de norme f=4,0N représentée sur le schéma.

📝 Réponds par Vrai ou faux (Écrire le calcul pour la dernière question):

Exercice 4 : Encore la tour de Pise! 📄 ✏️ 🧮

Une bille de masse m=1,0kg et de centre de masse G est lâchée sans vitesse initiale du haut de la tour de Pise de hauteur h=58m. On néglige les forces de frottement.

$E_{c_i}$: l' énergie cinétique de la bille à l'instant initial.
$E_{c_f}$: l' énergie cinétique de la bille à l'instant final: juste avant de toucher le sol.
$ W_{G_0\rightarrow O}(\vec{P}) $: le travail du poids lors de la chute de $ G_0 $ en $O$.

📖

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique calculer la vitesse maximale $v_{f}$ atteinte par la bille juste avant de toucher le sol.

Calculons tout d'abord le travail du poids qui est la seule force qui s'applique sachant que:

$P=m\times g$
$G_0O = h$
Les vecteurs $\vec{P}$ et $\overrightarrow{G_0O} $ sont colinéaires et de même sens donc $\alpha = 0 $

$ W_{G_0\to O}(\vec{P}) = \vec{P}\cdot\overrightarrow{G_0O} = P\times h \times \cos\alpha = mg\times h \times \cos0 $.
$ W_{G_0\to O}(\vec{P}) = m\times g\times h $

Écrivons le théorème de l'énergie cinétique:

$\Delta E_c = E_{c_f} - E_{c_i} = W_{G_0\to O}(\vec{P})$

On obtient: $\dfrac{1}{2}m{v{_f}}^2 - \dfrac{1}{2}m{v_{i}}^2 = m\times g\times h $

La vitesse initiale étant nulle: $\dfrac{1}{2}\cancel m {v_f}^2 = \cancel m\times g\times h $

La masse se simplifie, on obtient :

$ v_f = \sqrt{2\times h\times g} $

Faisons l'application numérique: $ v_f = \sqrt{2\times 58\times 9,8} \simeq 34 m.s^{-1}$

On retrouve le même résultat qu'en application de la conservation de l' énergie mécanique (aux arrondis près).