Les lois de Newton

Le centre de masse

Pour faciliter l'étude du mouvement d'un corps solide, on réduit la totalité de ce corps à son centre de masse (ou centre d'inertie).

Sur l'image ci-contre, nous constatons que seul le centre de masse (ou d'inertie) du marteau suit une trajectoire parabolique. C'est le seul point qui nous intéressera.

Nous étudierons donc uniquement le mouvement du centre de masse de l'objet étudié.

Le principe d'inertie (première loi de Newton)

Ce principe a d'abord été formulé par Galilée au début du XVII^e siècle:

Si un corps n'est soumis à aucune force, ou si elles se compensent, le corps conserve son état de mouvement.

Que signifie conserver son état de mouvement? Il est équivalent de dire: son vecteur vitesse \(\vec{v}\) est constant. Or nous avons vu en classe de première que si le vecteur vitesse d'un corps est constant, alors le mouvement est rectiligne et uniforme.

Ce principe fondateur est connu aujourd'hui comme la première loi de Newton que nous formulerons ainsi:

Si la somme des forces s'appliquant au centre de masse d'un objet est nulle: \(\sum \vec{F} = \vec{0}\), alors son mouvement est rectiligne et uniforme: \(\vec{v} = \overrightarrow{\mathrm{constant}}\).

À noter : le repos est un cas particulier de mouvement rectiligne et uniforme.

📖

On lance avec une vitesse \(\vec{v}\) un objet sur une surface plane et horizontale sur laquelle il ne subit aucun frottement. Faire le bilan des forces qui s'exercent sur le centre de masse puis conclure sur la nature du mouvement de l'objet.

En l'absence de frottements, deux forces s'appliquent :

Le poids : \(\vec{P}\)
La réaction du sol : \(\vec{R}\)

Ces deux forces sont :

De même direction
De même intensité
De sens opposés

On peut donc écrire: \(\sum \vec{F} = \vec{P}+\vec{R} = \vec{0}\). En vertu du principe d'inertie, le mouvement est rectiligne et uniforme.
La vitesse \(\vec{v}\) est conservée.

Question de référentiels

Lancez la bille sur le plateau tournant, nous venons de voir que si on néglige les frottements, son mouvement devrait être rectiligne et uniforme. Qu'observez-vous?

la bille attend au centre : clique sur « lancer »

vitesse de rotation du plateau

vitesse de la bille

trace sur le plateau (courbe) trajectoire réelle de la bille (droite, vue du labo)

Le mouvement est bien rectiligne uniforme mais dans le référentiel de la Terre, celui de votre écran (trajectoire en pointillés). Par contre, la trajectoire est courbée dans le référentiel du plateau tournant (trajectoire rouge).

Le principe d'inertie est ici vérifié dans le référentiel de la Terre mais pas dans celui du plateau tournant car le mouvement du plateau a une influence sur le mouvement.

On dit dans ce cas que le référentiel de la Terre est galiléen mais pas celui du plateau.

Un référentiel est dit galiléen lorsque le principe d'inertie y est vérifié.

Quelques référentiels à connaître :

Terrestre: lié au sol. Nous le considérerons comme galiléen si les effets de la rotation de la Terre peuvent être négligés.
Géocentrique: Il est lié au centre de la Terre (nous en aurons besoin au prochain chapitre).
Héliocentrique: Il est lié au centre du Soleil.

Énoncé de la deuxième loi de Newton (et la troisième)

Énoncé de la deuxième loi :

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces s'appliquant au centre de masse d'un objet est égale à la masse de l'objet multipliée par son accélération :

\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)

On rappelle que le vecteur accélération décrit les variations du vecteur vitesse : \( \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} \)

Énoncé de la troisième loi (principe des actions réciproques) :

Si un objet A exerce une force sur un objet B, alors B exerce en retour sur A une force de même direction, de même valeur et de sens opposé : \( \vec{F}_{\mathrm{A/B}} = -\vec{F}_{\mathrm{B/A}} \).

Par exemple, l'objet glissant sur la surface plane appuie sur le sol, et le sol exerce en retour sur l'objet la réaction \(\vec{R}\). De même, la Terre attire l'objet (son poids \(\vec{P}\)) et l'objet attire la Terre avec une force opposée.

Attention : le poids \(\vec{P}\) et la réaction \(\vec{R}\) ne forment pas un couple action-réaction. Ces deux forces s'exercent sur le même objet ; si elles se compensent, c'est en vertu du principe d'inertie, pas de la troisième loi.

Chute libre sans vitesse initiale

Cadre de l'étude

Un corps G de masse m est lâché sans vitesse initiale. Le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est considéré comme uniforme.

L'objectif de cette partie est de déterminer les équations du mouvement de G dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) comme sur le schéma donné ci-contre.

À l'instant initial, les coordonnées de G sont \((x_0,y_0,z_0)\). Nous négligerons les forces de frottement.

Les coordonnées de G s'écrivent : \[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} &x\\ &y\\ &z \end{aligned} \right. \]

x, y et z sont les coordonnées du point G à chaque instant.

Le vecteur accélération

Pour déterminer le vecteur accélération \( \vec{a} \), faisons un bilan des forces puis appliquons la deuxième loi de Newton :

Bilan des forces:
L'objet en chute libre n'est soumis qu'à son poids : \(\sum \vec{F} = \vec{P} = m\vec{g}\).
Deuxième loi:
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).

👉 On en déduit immédiatement que \(\sum \vec{F} = m\vec{a}=m\vec{g}\), et donc que :

\(\vec{a}=\vec{g}\)

Trois remarques importantes :

Le mouvement d'un objet en chute libre ne dépend pas de sa masse !
La norme du vecteur accélération est égale à l'intensité de la pesanteur.
Le mouvement est uniformément accéléré.

Il s'agit maintenant de représenter les composantes du vecteur \( \vec{a} \) sur les axes du repère.

Le vecteur \( \vec{g} \), donc le vecteur \( \vec{a} \), est :

Dans la direction de l'axe (O,z) mais de sens opposé.
Orthogonal aux axes (O,x) et (O,y).

Les coordonnées du vecteur accélération s'écrivent donc :

\[ \vec{a} \left| \begin{aligned} a_x&=0\\ a_y&=0\\ a_z&=-g \end{aligned} \right. \]

Le vecteur vitesse

Rappelons-nous que le vecteur qui décrit les variations du vecteur \( \vec{v} \) dans le temps est le vecteur accélération :

\(\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}\)

Pour trouver les coordonnées du vecteur vitesse, il faut trouver les primitives des coordonnées du vecteur accélération :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=C_1\\ v_y&=C_2\\ v_z&=-g \times t + C_3 \end{aligned} \right. \]

C₁, C₂ et C₃ sont les constantes d'intégration que nous allons déterminer.

Chaque constante est égale à la coordonnée de la vitesse à l'instant initial (t=0).

Or, la vitesse \( \vec{v_0} \) est nulle à l'instant initial donc :

\[ \vec{v_0} \left| \begin{aligned} {v_0}_x&=C_1 = 0\\ {v_0}_y&=C_2 = 0\\ {v_0}_z&=-g \times 0 + C_3=0 \end{aligned} \right. \]

Les trois constantes sont nulles donc :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=0\\ v_y&=0\\ v_z&=-g \times t \end{aligned} \right. \]

La vitesse augmente proportionnellement au temps dans le sens opposé à l'axe (O,z).

Le vecteur position

Le vecteur qui décrit les variations du vecteur \( \overrightarrow{OG} \) dans le temps est le vecteur vitesse :

\(\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}\)

Pour trouver les coordonnées du vecteur position, il faut trouver les primitives des coordonnées du vecteur vitesse :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&=C_4\\ y&=C_5\\ z&= -\frac{1}{2}gt^2+C_6 \end{aligned} \right. \]

C₄, C₅ et C₆ sont les constantes d'intégration que nous allons déterminer.

Chaque constante est égale à la coordonnée du point G à l'instant initial (t=0).

À l'instant initial, les coordonnées de G sont \((x_0,y_0,z_0)\) :

\[ \overrightarrow{OG}_0 \left| \begin{aligned} x_0&=C_4\\ y_0&=C_5\\ z_0&= -\frac{1}{2}g\times0^2+C_6 \end{aligned} \right. \]

Nous avons: \(C_4=x_0, C_5=y_0\) et \(C_6=z_0\) :

Expression finale du vecteur position:

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&=x_0\\ y&=y_0\\ z&= -\frac{1}{2}gt^2+z_0 \end{aligned} \right. \]

La distance parcourue selon (O, z) augmente proportionnellement au carré du temps. Le signe « − » indique que le mouvement est vers le bas.

Nous avons obtenu les équations horaires du mouvement de chute libre sans vitesse initiale.

Remarque: Le mouvement évoluant seulement selon l'axe (O, z), nous pourrons plus tard nous contenter d'analyser le mouvement uniquement selon cet axe vertical.

Chute de la tour de Pise 📄 ✏️ 🧮

Une bille de masse m = 1,0 kg et de centre de masse G est lâchée sans vitesse initiale du haut de la tour de Pise de hauteur h = 58 m.

Les coordonnées de la bille à l'instant initial sont :

\[ \overrightarrow{OG}_0 \left| \begin{aligned} x_0 &= 0\\ z_0 &= h \end{aligned} \right. \]

📖

Établir les équations horaires de son mouvement.

Bilan des forces :

L'objet en chute libre n'est soumis qu'à son poids : \(\sum \vec{F} = \vec{P} = m\vec{g}\).

Deuxième loi :

Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).

On en déduit que \( m\vec{a}=m\vec{g} \), et donc que :

\(\vec{a}=\vec{g}\)

Les coordonnées du vecteur accélération s'écrivent donc :

\[ \vec{a} \left| \begin{aligned} a_x&=0\\ a_z&=-g \end{aligned} \right. \]

👉 Pour trouver les coordonnées du vecteur vitesse, on cherche les primitives des coordonnées du vecteur accélération car \(\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}\) :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=C_1\\ v_z&=-g \times t + C_2 \end{aligned} \right. \]

C₁ et C₂ sont les constantes d'intégration que nous allons déterminer.

Chaque constante est égale à la coordonnée de la vitesse à l'instant initial (t=0). Or, la vitesse \( \vec{v_0} \) est nulle à l'instant initial donc :

\[ \vec{v_0} \left| \begin{aligned} {v_0}_x&=C_1 = 0\\ {v_0}_z&=-g \times 0 + C_2=0 \end{aligned} \right. \]

Et enfin, les deux constantes étant nulles :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=0\\ v_z&=-g \times t \end{aligned} \right. \]

👉 Pour trouver les coordonnées du vecteur position, on cherche les primitives des coordonnées du vecteur vitesse car \(\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}\) :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x &= C_3\\ z &= -\frac{1}{2}gt^2+C_4 \end{aligned} \right. \]

Or nous avons à l'instant initial : \(x_0=0,\quad z_0=h\) donc :

\[ \overrightarrow{OG}_0 \left| \begin{aligned} x_0 &= 0 =C_3\\ z_0 &= h = -\frac{1}{2}g\times0^2+C_4 \end{aligned} \right. \]

Nous avons \(C_3=0 \quad \text{et} \quad C_4=h\) :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x &= 0\\ z &= -\frac{1}{2}gt^2+h \end{aligned} \right. \]

📖

Calculer le temps de chute puis la vitesse de la bille avant de toucher le sol.
\( g = 9{,}8 \ \text{m.s}^{-2} \)

Temps de chute:

L'équation horaire sur l'axe (O, z) donne : \(z = -\frac{1}{2}gt^2+h\)

Lorsque le point G touche le sol à la date \(t_s\) :

\(z = 0\)
Donc : \(-\frac{1}{2}g{t_s}^2+h = 0\)
Soit: \( t_s = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)

Application numérique : \[ t_s = \sqrt{\dfrac{2\times58}{9{,}8}} = \sqrt{\dfrac{116}{9{,}8}} \simeq 3{,}4 \ \text{s} \]

Vitesse maximale: Lorsque le point G touche le sol à la date \(t_s\): \( v_z =-g \times t_s \)

Application numérique : \[ v_z =-9{,}8 \times 3{,}4 \simeq -33 \ \text{m.s}^{-1}\]

On ne garde que la valeur absolue: \[ |v_z| \simeq 33 \ \text{m.s}^{-1}\]

Chute libre avec vitesse initiale

Cadre de l'étude

Un corps G de masse m est lancé avec une vitesse initiale \(\vec{v_0}\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'axe (O, x). Le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est considéré comme uniforme.

L'objectif de cette partie est de déterminer les équations du mouvement de G dans le repère (\(O,\vec{i},\vec{k}\)). Le mouvement étant plan, nous n'avons besoin que de deux axes.

À l'instant initial, le point G est à l'origine du repère, ses coordonnées sont G \((0,0)\). Nous négligerons les forces de frottement.

Comme nous l'avons montré au chapitre précédent, les coordonnées de \(\vec{v_0}\) s'écrivent: \[ \vec{v_0} \left| \begin{aligned} v_{0x} &= v_0 \times \cos\alpha\\ v_{0z} &= v_0 \times \sin\alpha \end{aligned} \right. \]

x et z sont les coordonnées du point G à chaque instant.

Le vecteur accélération

Pour déterminer le vecteur accélération \( \vec{a} \), faisons un bilan des forces puis appliquons la deuxième loi de Newton :

Bilan des forces:
L'objet en chute libre n'est soumis qu'à son poids : \(\sum \vec{F} = \vec{P} = m\vec{g}\).
Deuxième loi:
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).

👉 On en déduit immédiatement que \(\sum \vec{F} = m\vec{a}=m\vec{g}\), et donc que :

\(\vec{a}=\vec{g}\)

Les coordonnées du vecteur accélération s'écrivent:

\[ \vec{a} \left| \begin{aligned} a_x&=0\\ a_z&=-g \end{aligned} \right. \]

La détermination du vecteur accélération est la même que pour la chute libre sans vitesse initiale.

Le vecteur vitesse

\(\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}\)

Pour trouver les coordonnées du vecteur vitesse, il faut trouver les primitives des coordonnées du vecteur accélération :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=C_1\\ v_z&=-g \times t + C_2 \end{aligned} \right. \]

C₁ et C₂ sont les constantes d'intégration que nous allons déterminer.

Chaque constante est égale à la coordonnée de la vitesse à l'instant initial (t=0).

L'analyse est maintenant différente car la vitesse initiale \( \vec{v_0} \) n'est pas nulle. À l'instant initial donc :

\[ \vec{v_0} \left| \begin{aligned} {v_0}_x&=C_1 = v_0 \times \cos\alpha\\ {v_0}_z&=C_2 =-g \times 0 + v_0 \times \sin\alpha \end{aligned} \right. \]

On en déduit que :

\(C_1 = v_0 \times \cos\alpha \)
\(C_2 = v_0 \times \sin\alpha \)

On obtient :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&= v_0 \times \cos\alpha\\ v_z&=-g \times t + v_0 \times \sin\alpha \end{aligned} \right. \]

La vitesse est constante selon l'axe (O,x).
La vitesse augmente proportionnellement au temps selon l'axe (O,z).

🔗 Pour simuler ce mouvement, consulter cette animation .

Le vecteur position

\(\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}\)

Pour trouver les coordonnées du vecteur position, il faut trouver les primitives des coordonnées du vecteur vitesse :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0 \times \cos\alpha \times t + C_3\\ z&= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \times \sin\alpha \times t + C_4 \end{aligned} \right. \]

C₃ et C₄ sont les constantes d'intégration que nous allons déterminer.

Chaque constante est égale à la coordonnée du point G à l'instant initial (t=0).

À l'instant initial, les coordonnées de G sont \((0,0)\) :

\[ \overrightarrow{OG}_0 \left| \begin{aligned} x_0&= 0= v_0 \times \cos\alpha \times 0 + C_3\\ z_0&= 0 = -\frac{1}{2}g\times 0^2 + v_0 \times \sin\alpha \times 0 + C_4 \end{aligned} \right. \]

On en déduit que :

\(C_3=0\)
\(C_4=0\)

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0 \times \cos\alpha \times t \\ z&= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \times \sin\alpha \times t \end{aligned} \right. \]

Nous avons obtenu les équations horaires du mouvement de chute libre avec vitesse initiale.

Remarque : si l'objet est lancé d'un autre endroit que l'origine des axes, G₀ \((x_0,z_0)\), les équations deviennent :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0 \times \cos\alpha \times t + \color{#C0362C}{x_0} \\ z&= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \times \sin\alpha \times t + \color{#C0362C}{z_0} \end{aligned} \right. \]

Équation cartésienne de la trajectoire

Les équations obtenues permettent de décrire l'évolution de chacune des coordonnées dans le temps:

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0 \times \cos\alpha \times t \\ z&= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \times \sin\alpha \times t \end{aligned} \right. \]

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut éliminer le paramètre temps entre ces deux équations.

Exprimons t à l'aide de la première: \( t =\color{#1e3a8a} \dfrac{x}{v_0 \times \cos\alpha} \)

Remplaçons dans la deuxième: \( z = -\dfrac{1}{2}g\left(\color{#1e3a8a}{\dfrac{x}{v_0 \times \cos\alpha}}\right)^2 + v_0 \times \sin\alpha \times \left(\color{#1e3a8a}{\dfrac{x}{v_0 \times \cos\alpha}}\right) \)

Ce qui donne après simplifications (Rappel: \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)) :

\( z = \color{#C0362C}{-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}}\color{#000000} {\times x^2} + \color{#C0362C}{\tan\alpha}\color{#000000}\times x \)

Nous reconnaissons une équation du type: \( z = \color{#C0362C}{A}\color{#000000} {\times x^2} + \color{#C0362C}{B}\color{#000000}\times x \) dont la représentation graphique est une parabole inversée (concave car A est négatif).

Nous avons obtenu l'équation de la trajectoire du mouvement de chute libre avec vitesse initiale. Cette trajectoire est parabolique.

Flèche et portée 📄 ✏️ 🧮

Une balle de golf est tirée de l'origine des axes avec une vitesse \( v_0 = 50{,}0\ \text{m.s}^{-1} \) faisant un angle \( \alpha = 45{,}0° \) avec l'horizontale. On prendra \( g = 9{,}81\ \text{m.s}^{-2} \).

On rappelle l'équation de la trajectoire:

\( z = {-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}}{\times x^2} + {\tan\alpha}\times x \)

Et les équations horaires:

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&= v_0 \times \cos\alpha\\ v_z&=-g \times t + v_0 \times \sin\alpha \end{aligned} \right. \]

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0 \times \cos\alpha \times t \\ z&= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \times \sin\alpha \times t \end{aligned} \right. \]

📖

Calculer la portée D du tir.

Pour calculer la portée D du tir, il faut résoudre l'équation \({z}=0\). Nous trouverons alors les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses :

\( {-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}}{\times x^2} + {\tan\alpha}\times x = 0\)

Inutile de calculer le \( \Delta \), factorisons par x: \[x \times \left( -\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha} \times x + \tan\alpha \right) = 0\]

Deux possibilités:

\( x_1=0 \)
\(-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha} \times x_2 + \tan\alpha = 0\)

En se souvenant que \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), nous obtenons les deux solutions:

\( x_1=0 \) (point de lancer)
\(x_2 = \dfrac{2v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g} \) (point de contact avec le sol)

Remarque : avec les formules de trigonométrie, on peut encore simplifier: \(x_2 = \dfrac{2v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g} = \dfrac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\)
Mais ce n'est pas exigible en terminale.

La portée D n'est autre que \( x_2 \), faisons l'application numérique:

\(D = \dfrac{2 \times 50^2 \times \sin(45^\circ) \cos(45^\circ)}{9{,}81} \simeq 255\ \text{m}\) (avec trois chiffres significatifs).

📖

En remarquant que la vitesse est horizontale au point S, calculer la flèche H du tir, hauteur maximale atteinte par la balle.

Si la vitesse est horizontale au point S, alors sa coordonnée sur (O, z) \(v_z \) est nulle: \[v_z=-g \times t + v_0 \times \sin\alpha =0 \]

On a alors à la date \(t_s \): \( t_s = {\dfrac{v_0 \times \sin\alpha}{g}} \)

Reportons cette expression dans l'équation horaire: \(z= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \times \sin\alpha \times t \)

On obtient: \[ z_s= -\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0 \times \sin\alpha}{g}\right)^2 + v_0 \times \sin\alpha \times \left(\frac{v_0 \times \sin\alpha}{g}\right) \]

Puis: \[ z_s= -\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} +\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g} \]

On a finalement, en factorisant par \(\left(\frac{v_0^2 \times \sin^2\alpha}{g}\right) \): \[ z_s= \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} \]

On fait l'application numérique en remarquant que \(H = z_s\) :

\[ H= \frac{50^2\times\sin^2(45^\circ)} {2\times9{,}81} \simeq 63{,}7\,\mathrm{m} \]

Particule chargée dans un champ électrique

Cadre de l'étude

Un condensateur plan est constitué de deux plaques métalliques planes et parallèles, séparées par un matériau isolant. Il règne entre les plaques un champ électrique uniforme \(\vec{E} \) dirigé par convention de la plaque chargée + vers celle chargée -.

La norme du champ électrique s'écrit \(E=\dfrac{U}{d}\).
U est la tension entre les plaques (V) et d est la distance entre les plaques (m).

L'objectif de cette partie est de déterminer les équations du mouvement d'une particule de charge q assimilée à un point G dans le repère (\(O,\vec{i},\vec{j}\)). Le mouvement étant plan, nous n'avons besoin que de deux axes.

À l'instant initial, la particule est à l'origine du repère, ses coordonnées sont G₀ \((0,0)\). Nous négligerons les forces de frottement et le poids de la particule.

Elle possède une vitesse initiale \(v_0\) parallèle à l'axe (O, x).

Les coordonnées de \(\vec{v_0}\) s'écrivent: \[ \vec{v_0} \left| \begin{aligned} v_{0x} &= v_0 \\ v_{0y} &= 0 \end{aligned} \right. \]

La force électrique s'appliquant à la particule s'écrit :

\(\vec{F}=q\times \vec{E}\)

Le vecteur accélération

Pour déterminer le vecteur accélération \( \vec{a} \), faisons un bilan des forces puis appliquons la deuxième loi de Newton :

Bilan des forces:
La particule n'est soumise qu'à la force électrique : \(\sum \vec{F} = \vec{F} = q\vec{E}\).
Deuxième loi:
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).

👉 On en déduit que \(\sum \vec{F} = m\vec{a}=q\vec{E}\), et donc que :

\[\vec{a}=\frac{q\vec{E}}{m}\]

Les coordonnées du vecteur accélération s'écrivent donc:

\[ \vec{a} \left| \begin{aligned} a_x&=0\\ a_y&=-\frac{q{E}}{m} \end{aligned} \right. \]

Le vecteur vitesse

\(\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}\)

Pour trouver les coordonnées du vecteur vitesse, il faut trouver les primitives des coordonnées du vecteur accélération :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=C_1\\ v_y&=-\frac{q{E}}{m} \times t + C_2 \end{aligned} \right. \]

C₁ et C₂ sont les constantes d'intégration que nous allons déterminer.

Chaque constante est égale à la coordonnée de la vitesse à l'instant initial (t=0).

À l'instant initial:

\[ \vec{v_0} \left| \begin{aligned} {v_0}_x&=C_1 = v_0\\ {v_0}_y& =-\frac{q{E}}{m} \times 0 + C_2 =0 \end{aligned} \right. \]

On obtient :

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&= v_0 \\ v_y&=-\frac{q{E}}{m} \times t \end{aligned} \right. \]

Le vecteur position

\(\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}\)

Pour trouver les coordonnées du vecteur position, il faut trouver les primitives des coordonnées du vecteur vitesse :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0\times t + C_3\\ y&= -\frac{1}{2}\frac{q{E}}{m}t^2 + C_4 \end{aligned} \right. \]

C₃ et C₄ sont les constantes d'intégration que nous allons déterminer.

Chaque constante est égale à la coordonnée du point G à l'instant initial (t=0).

À l'instant initial, les coordonnées de G sont \((0,0)\) :

\[ \overrightarrow{OG}_0 \left| \begin{aligned} x_0&= v_0 \times 0 + C_3 = C_3 = 0\\ y_0&= -\frac{1}{2}\frac{q{E}}{m}\times0^2 + C_4 = C_4 = 0 \end{aligned} \right. \]

Nous avons donc :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0\times t\\ y&= -\frac{1}{2}\frac{q{E}}{m}t^2 \end{aligned} \right. \]

Nous avons obtenu les équations horaires du mouvement de la particule chargée entre deux plaques.

Équation cartésienne de la trajectoire

Les équations obtenues permettent de décrire l'évolution de chacune des coordonnées dans le temps:

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} x&= v_0\times t\\ y&= -\frac{1}{2}\frac{q{E}}{m}t^2 \end{aligned} \right. \]

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut éliminer le paramètre temps entre ces deux équations.

Exprimons t à l'aide de la première: \( t =\color{#1e3a8a} \dfrac{x}{v_0} \)

Remplaçons dans la deuxième: \( y = -\dfrac{1}{2}\dfrac{q{E}}{m{v_0}^2}\times x^2 \)

Et comme \(E=\dfrac{U}{d}\):

\( y =\color{#C0362C} {-\dfrac{1}{2}\dfrac{q{U}}{d\times m{v_0}^2}}\color{#000000} \times x^2 \)

Nous reconnaissons une équation du type: \( y = \color{#C0362C}{A}\color{#000000} {\times x^2} \) dont la représentation graphique est :

Une parabole (convexe) si la charge q est négative (un électron par exemple) car le coefficient \( \color{#C0362C}{A}\) devient positif.
Une parabole inversée (concave) si la charge q est positive.

Nous avons obtenu l'équation de la trajectoire du mouvement de la particule. Cette trajectoire est parabolique.

Principe de l'accélérateur linéaire

Changeons la situation : la particule entre maintenant par un petit trou de la plaque A, avec une vitesse initiale \(\vec{v_0}\) parallèle au champ \(\vec{E}\). On choisit l'axe (O, x) dans la direction de \(\vec{E}\), et les plaques sont distantes de d.

La force électrique \(\vec{F} = q\vec{E}\) est colinéaire à la vitesse : le mouvement est rectiligne.
Elle est constante : d'après la deuxième loi de Newton, \(a = \dfrac{qE}{m}\), le mouvement est uniformément accéléré (si la force est dans le sens du mouvement).

Les équations horaires s'écrivent \(v = a\,t + v_0\) et \(x = \dfrac{1}{2} a\,t^2 + v_0\,t\). En éliminant t, on montre que la vitesse en sortie (x = d) vérifie \(v^2 = v_0^2 + 2\,a\,d\). Comme \(a\,d = \dfrac{qE\,d}{m} = \dfrac{qU}{m}\) :

\[ v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2\,q\,U}{m}} \]

On retrouve ce résultat avec le théorème de l'énergie cinétique vu en première : la particule gagne l'énergie \(\dfrac{1}{2} m v^2 - \dfrac{1}{2} m v_0^2 = qU\) (q et U de même signe pour qu'elle soit accélérée).

Un électron (\(|q| = e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}\), \(m = 9{,}1 \times 10^{-31}\ \text{kg}\)), initialement au repos, est accéléré sous une tension \(|U| = 1{,}0 \times 10^3\ \text{V}\) : \(v = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 1{,}0 \times 10^3}{9{,}1 \times 10^{-31}}} \approx 1{,}9 \times 10^7\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

Un accélérateur linéaire est une succession de zones où règne un champ électrique parallèle à la trajectoire : à chaque traversée, la particule gagne l'énergie \(qU\). On atteint ainsi des vitesses très élevées (accélérateurs de recherche, radiothérapie).

Bilan

L'essentiel à retenir du chapitre.

Centre de masse et référentiel

On étudie le mouvement du centre de masse du système : c'est le seul point dont le mouvement est simple.
Un référentiel est galiléen si le principe d'inertie y est vérifié.
Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen si on néglige les effets de la rotation de la Terre.

Les lois de Newton

1^re loi (principe d'inertie) : si \(\sum \vec{F} = \vec{0}\), le mouvement est rectiligne uniforme (ou le système est au repos).
2^e loi : dans un référentiel galiléen, \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\).
3^e loi : \(\vec{F}_{\mathrm{A/B}} = -\vec{F}_{\mathrm{B/A}}\) (forces qui s'exercent sur deux objets différents).

\( \sum \vec{F} = m\vec{a} \)

Méthode

Définir le système, le référentiel galiléen et le repère.
Faire le bilan des forces et appliquer la 2^e loi : on obtient \(\vec{a}\).
Chercher les primitives : \(\vec{a}\) donne \(\vec{v}\), puis \(\vec{v}\) donne \(\overrightarrow{OG}\).
Déterminer les constantes avec les conditions initiales (t = 0).
Éliminer t entre x(t) et z(t) pour obtenir l'équation de la trajectoire.

Chute libre sans vitesse initiale

Seul le poids agit : \(\vec{a} = \vec{g}\). Le mouvement ne dépend pas de la masse.
Mouvement rectiligne uniformément accéléré, vertical.

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} & x = x_0 \\ & z = -\dfrac{1}{2} g t^2 + z_0 \end{aligned} \right. \]

Chute libre avec vitesse initiale

\(\vec{a} = \vec{g}\) ; \(\vec{v_0}\) fait un angle α avec l'horizontale ; départ de l'origine.
Mouvement plan ; \(v_x\) est constante.
Équations horaires, puis équation de la trajectoire, parabolique :

\[ \overrightarrow{OG} \left| \begin{aligned} & x = v_0 \cos\alpha \times t \\ & z = -\dfrac{1}{2} g t^2 + v_0 \sin\alpha \times t \end{aligned} \right. \]

\( z = -\dfrac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} \, x^2 + \tan\alpha \times x \)

Particule chargée dans un condensateur

Champ uniforme entre les plaques, de la plaque + vers la plaque − : \(E = \dfrac{U}{d}\).
Force électrique \(\vec{F} = q\vec{E}\) ; on néglige le poids : \(\vec{a} = \dfrac{q\vec{E}}{m}\).
Avec \(\vec{v_0}\) parallèle aux plaques, la trajectoire est une parabole, déviée vers la plaque de signe opposé à q :

\( y = -\dfrac{1}{2} \dfrac{q U}{d \, m v_0^2} \, x^2 \)

Accélérateur linéaire

\(\vec{v_0}\) parallèle à \(\vec{E}\) : mouvement rectiligne uniformément accéléré.
La particule gagne l'énergie \(qU\) à chaque traversée d'un champ accélérateur.

\( v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2\,q\,U}{m}} \)

Exercices

Exercice 1: texte à trous

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2: Vrai ou faux?

Les coordonnées du vecteur vitesse d'un objet en mouvement sont donnés ci-dessous:

\[ \vec{v} \left| \begin{aligned} v_x&=0\\ v_z&=-g \times t \end{aligned} \right. \]

📝 Réponds par Vrai ou faux:

Exercice 3: QCM

📝 On étudie le mouvement d'un objet lancé d'un point \(M_0(1,2)\) avec une vitesse initiale \(\vec{v_0}\) non nulle faisant un angle \(\alpha=30° \) avec l'axe (O, x).
Quelles sont les affirmations exactes?

La trajectoire de M est rectiligne.
\(v_x\) est une constante du mouvement.
\(v_z\) est une constante du mouvement.
La trajectoire de M est parabolique.
L'accélération du point M est constante.

Exercice 4 : Question ouverte 📄 ✏️ 🧮

Le mouvement d'un point M est décrit dans le repère (\(O,\vec{i},\vec{k}\)) par son vecteur vitesse:

\( \vec{v} \left| \begin{aligned} & v_x = 3 \\ & v_z = 2t-1 \end{aligned} \right. \)

À l'instant initial, il se trouve au point \(M_0 (2,3) \).

📖

Déterminer les équations horaires du mouvement.

💡 Indice

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : cherchez les primitives de \(v_x\) et \(v_z\) sans oublier les constantes d'intégration, puis déterminez-les grâce à la position à t = 0.

Il faut calculer les primitives des composantes du vecteur vitesse:

\( \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} & x = 3\times t + C_1 \\ & z = t^2 - t + C_2 \end{aligned} \right. \)

Pour déterminer les constantes, écrivons les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OM}\) à l'instant initial sachant que \(x_0=2 \) et \(z_0=3\):

\( \overrightarrow{OM}_0 \left| \begin{aligned} & x_0 = 2 = 3\times 0 + C_1 \\ & z_0 = 3 = 0^2 - 0 + C_2 \end{aligned} \right. \)

On en déduit que :

\(C_1=2\)
\(C_2=3\)

On obtient:

\( \overrightarrow{OM} \left| \begin{aligned} & x = 3\times t + 2 \\ & z = t^2 - t + 3 \end{aligned} \right. \)

Exercice 5: Vrai ou faux?

Un condensateur plan est constitué de deux plaques métalliques planes et parallèles, séparées d'une distance d par un matériau isolant. Il règne entre les plaques un champ électrique uniforme \(\vec{E} \) dirigé par convention de la plaque chargée + vers celle chargée -.

On rappelle l'équation obtenue:

\( y =\color{#000055} {-\dfrac{1}{2}\dfrac{q{E}}{m{v_0}^2}}\color{#000000} \times x^2 \)

📝 Réponds par Vrai ou faux:

Exercice 6 : Accélérateur linéaire de protons 📄 ✏️ 🧮

Dans un étage d'accélérateur linéaire, un proton pénètre par le trou de la plaque A avec une vitesse négligeable. Il est accéléré entre deux plaques parallèles A et B, distantes de \(d = 4{,}0\ \text{cm}\), entre lesquelles on applique une tension \(U = 2{,}0\ \text{kV}\). Il ressort par le trou de la plaque B.

Données : charge du proton \(q = e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}\) ; masse du proton \(m = 1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg}\) ; \(g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\). On rappelle que \(E = \dfrac{U}{d}\).

📖

1. Justifier le sens du champ électrique \(\vec{E}\) et le signe des plaques pour que le proton soit accéléré de A vers B.

💡 Indice

La force s'écrit \(\vec{F} = q\vec{E}\) avec \(q \gt 0\) : elle a le même sens que \(\vec{E}\). Rappel : \(\vec{E}\) est dirigé de la plaque + vers la plaque −.

Pour accélérer le proton de A vers B, la force \(\vec{F}\) doit être dirigée de A vers B. Comme \(q \gt 0\), \(\vec{F} = q\vec{E}\) a le même sens que \(\vec{E}\) : le champ est dirigé de A vers B. La plaque A est donc chargée positivement et la plaque B négativement.

📖

2. Calculer la valeur E du champ électrique, puis la valeur F de la force électrique. Montrer que le poids du proton est négligeable devant cette force.

💡 Indice

Convertissez d en mètres et U en volts. Calculez \(P = m\,g\), puis le rapport \(\dfrac{F}{P}\).

\[ \begin{aligned} & E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{2{,}0 \times 10^3}{4{,}0 \times 10^{-2}} = 5{,}0 \times 10^4\ \mathrm{V\cdot m^{-1}} \\ & F = e\,E = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^4 = 8{,}0 \times 10^{-15}\ \text{N} \\ & P = m\,g = 1{,}67 \times 10^{-27} \times 9{,}8 \approx 1{,}6 \times 10^{-26}\ \text{N} \end{aligned} \]

\(\dfrac{F}{P} \approx 5 \times 10^{11}\) : la force électrique est environ cinq cents milliards de fois plus grande que le poids, qui est donc négligeable.

📖

3. En appliquant la deuxième loi de Newton, calculer la valeur a de l'accélération du proton. Quelle est la nature de son mouvement ?

💡 Indice

Le proton n'est soumis qu'à la force électrique : \(\vec{F} = m\vec{a}\). Cette force est constante et colinéaire à la vitesse.

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, \(\sum \vec{F} = q\vec{E} = m\vec{a}\), donc :

\( a = \dfrac{e\,E}{m} = \dfrac{8{,}0 \times 10^{-15}}{1{,}67 \times 10^{-27}} \approx 4{,}8 \times 10^{12}\ \mathrm{m\cdot s^{-2}} \)

L'accélération est constante et colinéaire à la vitesse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

📖

4. Établir les équations horaires v(t) et x(t) du proton sur l'axe (O, x), l'origine étant prise au trou de la plaque A à t = 0.

💡 Indice

Cherchez les primitives successives de \(a_x = a\), sans oublier les conditions initiales : \(v_0 = 0\) et \(x_0 = 0\).

Par primitives successives de \(a_x = a\), avec \(v_0 = 0\) et \(x_0 = 0\) :

\[ \begin{aligned} & v(t) = a\,t \\ & x(t) = \dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \end{aligned} \]

📖

5. Calculer la durée \(t_B\) de la traversée, puis la vitesse \(v_B\) du proton à la sortie de la plaque B. Vérifier avec la relation \(v = \sqrt{\dfrac{2\,q\,U}{m}}\).

💡 Indice

Le proton sort en B lorsque \(x(t_B) = d\) : isolez \(t_B\), puis utilisez \(v_B = a\,t_B\). Gardez les valeurs non arrondies dans la calculatrice.

\[ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2}\,a\,t_B^2 = d \quad \text{donc} \quad t_B = \sqrt{\dfrac{2\,d}{a}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 4{,}0 \times 10^{-2}}{4{,}79 \times 10^{12}}} \approx 1{,}3 \times 10^{-7}\ \text{s} \\ & v_B = a\,t_B \approx 6{,}2 \times 10^5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \end{aligned} \]

Vérification : \(v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 2{,}0 \times 10^3}{1{,}67 \times 10^{-27}}} \approx 6{,}2 \times 10^5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\). Les deux méthodes concordent.

📖

6. L'accélérateur comporte 10 étages identiques. À chaque étage, le proton gagne l'énergie \(qU\). Calculer sa vitesse finale. Pourquoi multiplier les étages plutôt qu'utiliser une seule tension très élevée ?

💡 Indice

Après 10 étages, l'énergie cinétique vaut \(\dfrac{1}{2} m v^2 = 10\,qU\). Comparez avec la vitesse obtenue après un seul étage.

\(\dfrac{1}{2} m v^2 = 10\,qU\) donc \(v = \sqrt{\dfrac{20\,q\,U}{m}} = \sqrt{10} \times v_B \approx 2{,}0 \times 10^6\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

Une tension unique de \(20\ \text{kV}\) donnerait le même résultat, mais pour atteindre de très grandes énergies il faudrait des tensions énormes, impossibles à produire et à isoler. En répétant de nombreuses fois une tension raisonnable, on additionne les gains d'énergie : c'est le principe de l'accélérateur linéaire.