Écoulement d'un fluide

Spécialité physique chimie Terminale

La poussée d'Archimède

Rappels : pression dans un fluide au repos

Un fluide (liquide ou gaz) exerce sur toute surface en contact avec lui une force pressante, perpendiculaire à la surface et dirigée vers elle. Sa valeur est liée à la pression P du fluide :

\[ F = P \times S \]

avec F en newtons (N), P en pascals (Pa) et S en mètres carrés (m²).

Loi fondamentale de la statique des fluides (vue en première) : dans un fluide incompressible au repos, de masse volumique \(\rho\), la pression augmente avec la profondeur. Pour deux points A et B d'altitudes \(z_A\) et \(z_B\) :

\[ P_B - P_A = \rho \, g \, (z_A - z_B) \]
Dans l'eau (\(\rho = 1{,}0 \times 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)), la pression augmente de \(\rho \, g \times 10\ \text{m} \approx 1 \times 10^5\ \text{Pa}\) tous les 10 m, soit environ une fois la pression atmosphérique.

Origine de la poussée d'Archimède

Considérons un cube entièrement immergé dans un liquide. Chaque face subit une force pressante :

  • sur les faces latérales, les forces pressantes se compensent deux à deux ;
  • la face inférieure est plus profonde que la face supérieure : la pression y est plus grande, donc la force pressante dirigée vers le haut est plus grande que celle, dirigée vers le bas, qui s'exerce sur la face supérieure.
La résultante des forces pressantes exercées par le fluide est donc verticale et dirigée vers le haut : c'est la poussée d'Archimède. Elle a pour origine l'augmentation de la pression avec la profondeur.
📖
Un cube d'arête a est entièrement immergé dans un liquide de masse volumique \(\rho\). En utilisant la loi de la statique des fluides, calculer la résultante des forces pressantes sur ses faces supérieure et inférieure.
💡 Indice Les deux faces ont la même surface \(S = a^2\) et sont séparées d'une hauteur a. Exprimez \(P_{\mathrm{bas}} - P_{\mathrm{haut}}\).

D'après la loi de la statique des fluides, \(P_{\mathrm{bas}} - P_{\mathrm{haut}} = \rho \, g \, a\). La résultante, dirigée vers le haut, vaut :

\[ F_{\mathrm{bas}} - F_{\mathrm{haut}} = (P_{\mathrm{bas}} - P_{\mathrm{haut}}) \times a^2 = \rho \, g \, a^3 = \rho \, V \, g \]

On retrouve le poids du liquide qui occuperait le volume du cube : c'est exactement l'expression de la poussée d'Archimède.

Expression de la poussée d'Archimède

Tout corps immergé, totalement ou partiellement, dans un fluide au repos subit de la part de ce fluide une force appelée poussée d'Archimède, opposée au poids du fluide déplacé :

\[ \vec{\Pi} = -\rho_{\mathrm{f}} \, V_{\mathrm{im}} \, \vec{g} \]
  • \(\rho_{\mathrm{f}}\) : masse volumique du fluide (en \(\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) ;
  • \(V_{\mathrm{im}}\) : volume immergé du corps, c'est-à-dire le volume de fluide déplacé (en \(\mathrm{m^3}\)) ;
  • \(\vec{g}\) : champ de pesanteur (\(g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\)).

Caractéristiques de la poussée d'Archimède :

  • direction : verticale ; sens : vers le haut ;
  • valeur : \(\Pi = \rho_{\mathrm{f}} \, V_{\mathrm{im}} \, g\), en newtons ;
  • point d'application : le centre de la partie immergée, appelé centre de poussée.
Attention : c'est la masse volumique du fluide qui intervient, et non celle de l'objet. La poussée d'Archimède existe aussi dans l'air, mais elle est en général négligeable devant le poids, car l'air est environ 800 fois moins dense que l'eau.

Flotter ou couler ?

Un objet plein et homogène, de masse volumique \(\rho_{\mathrm{o}}\) et de volume V, est lâché dans un liquide. Il est soumis à son poids \(P = \rho_{\mathrm{o}} \, V \, g\) et à la poussée d'Archimède. S'il était totalement immergé, celle-ci vaudrait \(\Pi = \rho_{\mathrm{f}} \, V \, g\). On compare donc les masses volumiques :

  • si \(\rho_{\mathrm{o}} \gt \rho_{\mathrm{f}}\) : le poids l'emporte, l'objet coule ;
  • si \(\rho_{\mathrm{o}} \lt \rho_{\mathrm{f}}\) : l'objet remonte et flotte. À l'équilibre, il n'est que partiellement immergé et \(\Pi = P\).

À l'équilibre d'un objet qui flotte : \(\rho_{\mathrm{f}} \, V_{\mathrm{im}} \, g = \rho_{\mathrm{o}} \, V \, g\), d'où la fraction immergée :

\[ \dfrac{V_{\mathrm{im}}}{V} = \dfrac{\rho_{\mathrm{o}}}{\rho_{\mathrm{f}}} \]
Cube de 10 cm d'arête (V = 1,0 L). Les flèches sont à l'échelle entre elles.
poids P poussée d'Archimède Π réaction du fond R

Essayez le bois (600 kg/m³), la glace (917 kg/m³) dans l'eau douce puis dans l'eau de mer (1025 kg/m³), et l'aluminium (2700 kg/m³). Cochez « forces pressantes » : elles sont plus grandes en bas qu'en haut, et celles des faces latérales se compensent.

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Un bateau en acier (\(\rho = 7\,800\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) flotte, alors qu'un clou en acier coule. Pourquoi ?

La coque du bateau est creuse : elle contient beaucoup d'air. Le volume d'eau déplacé est donc très grand pour une masse donnée. La masse volumique moyenne du bateau (acier + air) est inférieure à celle de l'eau, et la poussée d'Archimède peut compenser son poids. Le clou, lui, est plein : sa masse volumique est celle de l'acier.

Tester l'expression de la poussée d'Archimède

On suspend un objet à un dynamomètre. Dans l'air, le dynamomètre indique le poids P. On plonge ensuite l'objet entièrement dans l'eau : le dynamomètre indique une valeur plus faible, le poids apparent \(P_{\mathrm{app}}\). La différence est due à la poussée d'Archimède :

\[ \Pi = P - P_{\mathrm{app}} \]

En mesurant le volume de l'objet (par exemple avec une éprouvette graduée, par déplacement d'eau), on vérifie que \(\Pi = \rho_{\mathrm{eau}} \, V \, g\). On peut aussi refaire l'expérience dans de l'eau salée : la poussée est plus grande.

Écoulement d'un fluide en régime permanent

Fluide en écoulement

  • Un écoulement est en régime permanent (ou stationnaire) si, en chaque point, la vitesse et la pression du fluide ne dépendent pas du temps.
  • Un fluide est incompressible si sa masse volumique \(\rho\) reste constante. C'est le cas des liquides, et des gaz lorsque leur vitesse reste modérée.
  • Une ligne de courant est une ligne tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide. Elle matérialise le trajet des particules de fluide en régime permanent.
En régime permanent, la vitesse peut être différente d'un point à l'autre : c'est en un point donné qu'elle ne change pas au cours du temps.

Débit volumique

Le débit volumique \(D_V\) est le volume de fluide qui traverse une section de la conduite par unité de temps :
\[ D_V = \dfrac{V}{\Delta t} \]
en \(\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}\) (on utilise aussi le \(\mathrm{L\cdot s^{-1}}\) ou le \(\mathrm{m^3\cdot h^{-1}}\)).

Pendant une durée \(\Delta t\), le fluide qui traverse la section S, à la vitesse v, occupe un cylindre de base S et de longueur \(v \, \Delta t\) :

S v v × Δt V = S × v × Δt

Ce volume vaut \(V = S \times v \, \Delta t\), donc :

\[ D_V = S \times v \]

avec S en \(\mathrm{m^2}\) et v (vitesse moyenne du fluide dans la section) en \(\mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

Conservation du débit volumique

En régime permanent, pour un fluide incompressible, le volume qui entre dans une portion de conduite est égal, à chaque instant, au volume qui en sort : le débit volumique se conserve. Pour deux sections A et B d'une même conduite :
\[ D_V = S_A \, v_A = S_B \, v_B \]
Lorsque la section de la conduite diminue, la vitesse du fluide augmente : la vitesse est inversement proportionnelle à la section.
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Pour arroser plus loin, on bouche en partie l'extrémité du tuyau d'arrosage avec le pouce. On divise ainsi la section de sortie par 4. Que devient la vitesse de l'eau à la sortie, le débit restant le même ?

Le débit se conserve : \(S \, v = S' \, v'\) avec \(S' = \dfrac{S}{4}\), donc \(v' = \dfrac{S}{S'} \, v = 4 \, v\). L'eau sort 4 fois plus vite, et le jet va plus loin.

La relation de Bernoulli

Pour un fluide incompressible, en écoulement permanent et dont on néglige les frottements (fluide parfait), on a, en tout point d'une même ligne de courant :

\[ P + \dfrac{1}{2} \rho \, v^2 + \rho \, g \, z = \text{constante} \]

soit, entre deux points A et B de cette ligne de courant :

\[ P_A + \dfrac{1}{2} \rho \, v_A^2 + \rho \, g \, z_A = P_B + \dfrac{1}{2} \rho \, v_B^2 + \rho \, g \, z_B \]
  • P : pression (Pa) ; \(\rho\) : masse volumique (\(\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) ; v : vitesse (\(\mathrm{m\cdot s^{-1}}\)) ; z : altitude (m), sur un axe vertical orienté vers le haut.
  • Chaque terme est homogène à une pression et s'exprime en pascals.
  • La relation de Bernoulli est fournie dans les exercices : il faut savoir l'exploiter.
Si le fluide est au repos (\(v_A = v_B = 0\)), on retrouve la loi de la statique des fluides : \(P_B - P_A = \rho \, g \, (z_A - z_B)\).
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Un grand réservoir ouvert est rempli d'eau. Un petit orifice est percé à une hauteur \(h = 0{,}80\ \text{m}\) sous la surface libre. Calculer la vitesse de l'eau à la sortie de l'orifice (formule de Torricelli).
💡 Indice Appliquez la relation de Bernoulli entre un point A de la surface libre et un point B du jet. En A comme en B, le fluide est au contact de l'air : que vaut la pression ? Le réservoir étant grand, la surface libre descend très lentement : \(v_A \approx 0\).

En A (surface libre) : \(P_A = P_{\mathrm{atm}}\), \(v_A \approx 0\), \(z_A = h\). En B (jet) : \(P_B = P_{\mathrm{atm}}\), \(z_B = 0\). La relation de Bernoulli donne :

\[ \rho \, g \, h = \dfrac{1}{2} \rho \, v_B^2 \quad \text{donc} \quad v_B = \sqrt{2 \, g \, h} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 0{,}80} \approx 4{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \]

C'est la vitesse qu'aurait l'eau après une chute libre de hauteur h.

L'effet Venturi

Dans une conduite horizontale (\(z_A = z_B\)), la relation de Bernoulli s'écrit :

\[ P_A - P_B = \dfrac{1}{2} \rho \, (v_B^2 - v_A^2) \]
Effet Venturi : dans un rétrécissement, la section diminue, donc la vitesse du fluide augmente (conservation du débit) et sa pression diminue (relation de Bernoulli).
Tube de Venturi horizontal parcouru par de l'eau. Section en A : 4,0 cm².
particules de fluide vitesses dénivellation Δh

Les tubes verticaux sont des tubes manométriques : la hauteur d'eau y est d'autant plus grande que la pression est élevée dans la conduite. La dénivellation \(\Delta h\) mesure la différence de pression : \(P_A - P_B = \rho \, g \, \Delta h\). Augmentez le débit ou resserrez le tube : les particules accélèrent dans l'étranglement et la pression y chute.

Quelques applications de l'effet Venturi :

  • le débitmètre de Venturi : la mesure de \(\Delta h\) permet de calculer le débit ;
  • le pulvérisateur (vaporisateur de parfum) : l'air accéléré au-dessus d'un tube crée une dépression qui aspire le liquide ;
  • la trompe à eau utilisée au laboratoire pour les filtrations sous vide.
Ne pas inverser les idées : c'est là où la conduite est la plus étroite que la vitesse est la plus grande et la pression la plus faible.

Bilan

L'essentiel à retenir du chapitre.

Poussée d'Archimède

  • Tout corps immergé dans un fluide subit une force verticale vers le haut.
  • Origine : la pression augmente avec la profondeur.
  • Seuls comptent la masse volumique du fluide et le volume immergé.
\[ \begin{aligned} & \vec{\Pi} = -\rho_{\mathrm{f}} \, V_{\mathrm{im}} \, \vec{g} \\ & \Pi = \rho_{\mathrm{f}} \, V_{\mathrm{im}} \, g \end{aligned} \]

Flotter ou couler

  • \(\rho_{\mathrm{o}} \gt \rho_{\mathrm{f}}\) : l'objet coule ; \(\rho_{\mathrm{o}} \lt \rho_{\mathrm{f}}\) : il flotte.
  • À l'équilibre d'un objet qui flotte : \(\Pi = P\).
  • Au dynamomètre : \(\Pi = P - P_{\mathrm{app}}\).
\( \dfrac{V_{\mathrm{im}}}{V} = \dfrac{\rho_{\mathrm{o}}}{\rho_{\mathrm{f}}} \)

Débit volumique

  • \(D_V\) en \(\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}\), S en \(\mathrm{m^2}\), v en \(\mathrm{m\cdot s^{-1}}\).
  • Fluide incompressible en régime permanent : le débit se conserve.
  • Section plus petite ⇒ vitesse plus grande.
\[ \begin{aligned} & D_V = \dfrac{V}{\Delta t} = S \times v \\ & S_A \, v_A = S_B \, v_B \end{aligned} \]

Bernoulli et effet Venturi

  • Relation de Bernoulli (fournie) : \(P + \dfrac{1}{2} \rho \, v^2 + \rho \, g \, z\) se conserve le long d'une ligne de courant.
  • Conduite horizontale : \(P_A - P_B = \dfrac{1}{2} \rho \, (v_B^2 - v_A^2)\).
  • Effet Venturi : dans un rétrécissement, la vitesse augmente et la pression diminue.

Méthodes

  • Convertir : \(1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\) ; \(1\ \text{L} = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}\).
  • Bernoulli : choisir deux points ; à l'air libre \(P = P_{\mathrm{atm}}\) ; surface d'un grand réservoir : \(v \approx 0\).
  • Vidange d'un réservoir (Torricelli) : \(v = \sqrt{2 \, g \, h}\).

Exercices

Exercice 1 : texte à trous

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2 : Vrai ou faux ?

📝 Réponds par Vrai ou Faux :

Exercice 3 : QCM

📝 De l'eau s'écoule en régime permanent dans une conduite horizontale dont la section passe de \(S_A\) à \(S_B = \dfrac{S_A}{2}\). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes ?
  • Le débit volumique est le même en A et en B.
  • La vitesse de l'eau est deux fois plus faible en B qu'en A.
  • La vitesse de l'eau est deux fois plus grande en B qu'en A.
  • La pression de l'eau est plus faible en B qu'en A.
  • La pression de l'eau est la même en A et en B, car la conduite est horizontale.
  • Le débit volumique est deux fois plus grand en B qu'en A.

Exercice 4 : Identifier un métal avec un dynamomètre 📄 ✏️ 🧮

Un objet métallique plein est suspendu à un dynamomètre. Dans l'air, le dynamomètre indique \(2{,}70\ \text{N}\). Lorsque l'objet est entièrement immergé dans l'eau, il indique \(1{,}70\ \text{N}\).

Données : \(\rho_{\mathrm{eau}} = 1{,}00 \times 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) ; \(g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\) ; masses volumiques : fer \(7\,870\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\), aluminium \(2\,700\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\), cuivre \(8\,960\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\). On néglige la poussée d'Archimède dans l'air.

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1. Pourquoi l'indication du dynamomètre diminue-t-elle lorsque l'objet est plongé dans l'eau ? Calculer la valeur de la poussée d'Archimède.
💡 Indice Dans l'eau, une force verticale vers le haut s'ajoute à l'action du dynamomètre pour compenser le poids.

Dans l'eau, l'objet subit la poussée d'Archimède, verticale et dirigée vers le haut : le dynamomètre n'a plus à compenser tout le poids. À l'équilibre, \(P = \Pi + P_{\mathrm{app}}\), donc :

\( \Pi = P - P_{\mathrm{app}} = 2{,}70 - 1{,}70 = 1{,}00\ \text{N} \)
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2. En déduire le volume V de l'objet.
💡 Indice L'objet est entièrement immergé : \(V_{\mathrm{im}} = V\). Isolez V dans l'expression de la valeur de la poussée d'Archimède.

\(\Pi = \rho_{\mathrm{eau}} \, V \, g\) donc :

\( V = \dfrac{\Pi}{\rho_{\mathrm{eau}} \, g} = \dfrac{1{,}00}{1{,}00 \times 10^3 \times 9{,}8} \approx 1{,}02 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3} \), soit environ \(102\ \mathrm{cm^3}\).
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3. Calculer la masse volumique de l'objet et identifier le métal.
💡 Indice Calculez d'abord la masse à partir du poids, \(P = m \, g\), puis \(\rho = \dfrac{m}{V}\). Gardez les valeurs non arrondies dans la calculatrice.

\(m = \dfrac{P}{g} = \dfrac{2{,}70}{9{,}8} \approx 0{,}276\ \text{kg}\), puis :

\( \rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{P / g}{\Pi / (\rho_{\mathrm{eau}} \, g)} = \rho_{\mathrm{eau}} \times \dfrac{P}{\Pi} = 1{,}00 \times 10^3 \times \dfrac{2{,}70}{1{,}00} = 2\,700\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} \)

Il s'agit d'aluminium. On remarque que g se simplifie : seul le rapport \(\dfrac{P}{\Pi}\) compte.

Exercice 5 : La partie cachée de l'iceberg 📄 ✏️ 🧮

Un iceberg flotte sur l'océan. On l'assimile à un bloc de glace homogène.

Données : \(\rho_{\mathrm{glace}} = 917\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) ; \(\rho_{\mathrm{mer}} = 1\,025\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\).

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1. Faire le bilan des forces qui s'exercent sur l'iceberg à l'équilibre et écrire la condition d'équilibre.
💡 Indice Deux forces seulement : l'une due à la Terre, l'autre due à l'eau de mer. D'après le principe d'inertie, comment sont-elles ?

L'iceberg est soumis à son poids \(\vec{P}\) et à la poussée d'Archimède \(\vec{\Pi}\). Il est immobile : d'après le principe d'inertie, ces forces se compensent, \(\vec{P} + \vec{\Pi} = \vec{0}\), donc \(\Pi = P\).

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2. Montrer que le pourcentage du volume de l'iceberg situé sous l'eau est d'environ 89 %.
💡 Indice Écrivez \(\Pi = P\) en faisant apparaître le volume immergé \(V_{\mathrm{im}}\) et le volume total V, puis exprimez le rapport \(\dfrac{V_{\mathrm{im}}}{V}\).

\(\rho_{\mathrm{mer}} \, V_{\mathrm{im}} \, g = \rho_{\mathrm{glace}} \, V \, g\) donc :

\( \dfrac{V_{\mathrm{im}}}{V} = \dfrac{\rho_{\mathrm{glace}}} {\rho_{\mathrm{mer}}} = \dfrac{917}{1\,025} \approx 0{,}895 \), soit environ 89 %.

Seulement 11 % environ du volume de l'iceberg dépasse de l'eau !

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3. Le volume émergé d'un iceberg est estimé à \(1{,}0 \times 10^4\ \mathrm{m^3}\). Calculer son volume total.
💡 Indice La fraction émergée vaut \(1 - \dfrac{V_{\mathrm{im}}}{V}\). Utilisez la valeur exacte du rapport \(\dfrac{917}{1\,025}\).

\(V_{\mathrm{em}} = V \left(1 - \dfrac{917}{1\,025}\right) = V \times \dfrac{108}{1\,025}\) donc :

\( V = V_{\mathrm{em}} \times \dfrac{1\,025}{108} = 1{,}0 \times 10^4 \times \dfrac{1\,025}{108} \approx 9{,}5 \times 10^4\ \mathrm{m^3} \)

Le volume total est presque dix fois plus grand que la partie visible.

Exercice 6 : Le tuyau d'arrosage 📄 ✏️ 🧮

Un tuyau d'arrosage a un diamètre intérieur \(d = 2{,}0\ \text{cm}\). L'eau y circule à la vitesse \(v = 1{,}5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\). On considère l'eau comme un fluide incompressible en écoulement permanent.

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1. Calculer le débit volumique de l'eau dans le tuyau, en \(\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}\) puis en \(\mathrm{L\cdot s^{-1}}\).
💡 Indice La section est un disque de rayon \(r = \dfrac{d}{2}\) : \(S = \pi \, r^2\), à convertir en \(\mathrm{m^2}\). Rappel : \(1\ \mathrm{m^3} = 1\,000\ \text{L}\).

\(S = \pi \, r^2 = \pi \times (1{,}0 \times 10^{-2})^2 \approx 3{,}1 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\), donc :

\( D_V = S \times v = \pi \times (1{,}0 \times 10^{-2})^2 \times 1{,}5 \approx 4{,}7 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}} \), soit \(0{,}47\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}\).
📖
2. Combien de temps faut-il pour remplir un arrosoir de 10 L ?
💡 Indice Utilisez la définition du débit volumique \(D_V = \dfrac{V}{\Delta t}\).
\( \Delta t = \dfrac{V}{D_V} = \dfrac{10}{0{,}471} \approx 21\ \text{s} \)
📖
3. On place le pouce à l'extrémité du tuyau : la section de sortie n'est plus que de \(0{,}50\ \mathrm{cm^2}\). En supposant que le débit ne change pas, calculer la vitesse de l'eau à la sortie.
💡 Indice Le débit se conserve : \(S \, v = S' \, v'\). N'oubliez pas de convertir \(0{,}50\ \mathrm{cm^2}\) en \(\mathrm{m^2}\) (\(1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\)).
\( v' = \dfrac{D_V}{S'} = \dfrac{4{,}71 \times 10^{-4}}{0{,}50 \times 10^{-4}} \approx 9{,}4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \)

La section est environ 6 fois plus petite, la vitesse est environ 6 fois plus grande : le jet porte beaucoup plus loin.

Exercice 7 : Le débitmètre de Venturi 📄 ✏️ 🧮

De l'eau circule en régime permanent dans un tube de Venturi horizontal. La section vaut \(S_A = 4{,}0\ \mathrm{cm^2}\) dans la partie large et \(S_B = 1{,}0\ \mathrm{cm^2}\) dans l'étranglement. Le débit volumique est \(D_V = 0{,}20\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}\). Deux tubes manométriques permettent de mesurer la différence de pression entre A et B.

Δh A B écoulement

Données : \(\rho_{\mathrm{eau}} = 1{,}0 \times 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) ; \(g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\) ; relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant : \(P + \dfrac{1}{2} \rho \, v^2 + \rho \, g \, z = \text{constante}\).

📖
1. Calculer les vitesses \(v_A\) et \(v_B\) de l'eau en A et en B.
💡 Indice \(D_V = S \times v\) en chaque section. Convertissez : \(0{,}20\ \mathrm{L\cdot s^{-1}} = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}\) et \(1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\).
\[ \begin{aligned} & v_A = \dfrac{D_V}{S_A} = \dfrac{2{,}0 \times 10^{-4}}{4{,}0 \times 10^{-4}} = 0{,}50\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \\ & v_B = \dfrac{D_V}{S_B} = \dfrac{2{,}0 \times 10^{-4}}{1{,}0 \times 10^{-4}} = 2{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \end{aligned} \]

La section est 4 fois plus petite en B : la vitesse y est 4 fois plus grande.

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2. En appliquant la relation de Bernoulli entre A et B, montrer que \(P_A - P_B = \dfrac{1}{2} \rho \, (v_B^2 - v_A^2)\), puis calculer cette différence de pression.
💡 Indice Le tube est horizontal : A et B sont à la même altitude, \(z_A = z_B\). Les termes \(\rho \, g \, z\) se simplifient.

Entre A et B : \(P_A + \dfrac{1}{2} \rho \, v_A^2 + \rho \, g \, z_A = P_B + \dfrac{1}{2} \rho \, v_B^2 + \rho \, g \, z_B\). Comme \(z_A = z_B\) :

\( P_A - P_B = \dfrac{1}{2} \rho \, (v_B^2 - v_A^2) = \dfrac{1}{2} \times 1{,}0 \times 10^3 \times (2{,}0^2 - 0{,}50^2) \approx 1{,}9 \times 10^3\ \text{Pa} \)

\(P_A \gt P_B\) : la pression est plus faible dans l'étranglement, c'est l'effet Venturi.

📖
3. La différence de pression est liée à la dénivellation entre les deux tubes manométriques par \(P_A - P_B = \rho \, g \, \Delta h\). Calculer \(\Delta h\).
💡 Indice Isolez \(\Delta h\) et utilisez la valeur non arrondie de \(P_A - P_B\) (1 875 Pa).
\( \Delta h = \dfrac{P_A - P_B}{\rho \, g} = \dfrac{1\,875}{1{,}0 \times 10^3 \times 9{,}8} \approx 0{,}19\ \text{m} = 19\ \text{cm} \)

Vous pouvez vérifier ce résultat avec l'animation du cours : débit 0,20 L/s et rapport des sections 4.

📖
4. Expliquer pourquoi ce dispositif peut servir de débitmètre.
💡 Indice Si le débit augmente, que deviennent \(v_A\), \(v_B\) et donc \(\Delta h\) ? Les sections sont connues.

Les vitesses \(v_A\) et \(v_B\) sont proportionnelles au débit, donc \(\Delta h\) augmente avec le débit. Les sections étant connues, la mesure de \(\Delta h\) permet de remonter à \(P_A - P_B\), puis aux vitesses et enfin au débit : c'est le principe du débitmètre de Venturi.