Conventions générateur et récepteur

Dans un circuit, on représente l'intensité du courant par une flèche sur le fil et la tension aux bornes d'un dipôle par une flèche à côté du dipôle. La tension \(U_{AB} = V_A - V_B\) est représentée par une flèche qui pointe vers A.

• Convention générateur (pile, générateur) : les flèches de la tension et de l'intensité sont dans le même sens.
• Convention récepteur (résistance, lampe, condensateur…) : les flèches de la tension et de l'intensité sont de sens opposés.

La loi des mailles

Une maille est un chemin fermé dans un circuit. Dans le circuit ci-dessous, en série, il n'y a qu'une seule maille ; le générateur est en convention générateur, les trois résistances en convention récepteur.

La loi des nœuds

Un nœud est un point du circuit relié à au moins trois fils : dès qu'il y a plusieurs branches, il y a des nœuds.

L'intensité, un débit de charges

Un courant électrique est un déplacement d'ensemble de porteurs de charges (des électrons dans les métaux). L'intensité du courant mesure le débit de charges : la charge électrique qui traverse une section du conducteur par unité de temps.

• En régime permanent (courant continu), si une charge Q traverse la section pendant la durée Δt : \(I = \dfrac{Q}{\Delta t}\).
• En régime variable, l'intensité change au cours du temps : on considère une durée très courte, et l'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps.

Qu'est-ce qu'un condensateur ?

Lorsqu'un courant circule, des charges s'accumulent sur les armatures : l'une porte une charge \(q\), l'autre la charge opposée \(-q\). Aucune charge ne traverse l'isolant. En convention récepteur, q est la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche de l'intensité i.

Le comportement capacitif

Dès que deux surfaces conductrices en regard, séparées par un isolant, portent des charges de signes opposés, on retrouve un comportement capacitif. Les situations sont très variées :

• les composants électroniques (cartes électroniques, flash d'appareil photo, défibrillateur) ;
• l'écran tactile d'un smartphone : le doigt et la grille conductrice de l'écran forment un condensateur ;
• la membrane d'une cellule nerveuse, isolante, qui sépare deux milieux chargés ;
• le système nuage d'orage – sol, séparés par l'air : la base du nuage se charge négativement, le sol positivement. Quand le champ électrique devient trop intense, l'air devient conducteur : c'est l'éclair.

La capacité d'un condensateur

Le farad est une très grande unité. Quelques ordres de grandeur :

• écran tactile, capteurs : du picofarad (\(1\ \text{pF} = 10^{-12}\ \text{F}\)) à la centaine de picofarads ;
• condensateurs des circuits électroniques : du nanofarad (\(10^{-9}\ \text{F}\)) au millifarad (\(10^{-3}\ \text{F}\)), le plus souvent quelques microfarads (\(10^{-6}\ \text{F}\)) ;
• supercondensateurs (bus électriques, récupération d'énergie au freinage) : de quelques farads à quelques milliers de farads.

La capacité dépend de la géométrie du condensateur et de la nature de l'isolant. Pour un condensateur plan, dont les armatures de surface S sont séparées d'une distance e :

S en \(\mathrm{m^2}\), e en m ; ε est la permittivité de l'isolant (en \(\mathrm{F\cdot m^{-1}}\)), \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}\) celle du vide et \(\varepsilon_r\) la permittivité relative de l'isolant (environ 1 pour l'air, 3 pour le papier, 6 pour le verre).

Relation entre intensité et tension

Le condensateur est placé en convention récepteur : l'intensité i est orientée vers l'armature qui porte la charge q.

L'intensité du courant et la tension aux bornes d'un condensateur sont donc liées par :

• Si la tension \(u_C\) est constante, \(\dfrac{du_C}{dt} = 0\), donc \(i = 0\) : en régime permanent, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
• La tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas varier brutalement : cela demanderait une intensité infinie. La tension \(u_C\) est une fonction continue du temps, ce qui donne les conditions initiales des équations différentielles.

Dispositif expérimental

Un condensateur de capacité C, initialement déchargé, est placé en série avec une résistance R et une source idéale de tension, de force électromotrice E. À l'instant \(t = 0\), on ferme l'interrupteur K.

La source est en convention générateur, la résistance et le condensateur en convention récepteur. Pour la résistance, la loi d'Ohm s'écrit \(u_R = R \times i\).

L'équation différentielle de la charge

Pendant la charge, la tension aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle :

Résolution de l'équation

Cette équation est du type \(\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{y}{\tau} = b\), étudié dans la fiche 🔗 équations différentielles.

Lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé, la tension à ses bornes est :

On en déduit l'intensité du courant, avec \(i = C \times \dfrac{du_C}{dt}\) et \(\tau = RC\) :

L'intensité est maximale à la fermeture de l'interrupteur (\(i = \dfrac{E}{R}\)), puis décroît vers 0 : une fois chargé, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. Contrairement à \(u_C\), l'intensité peut varier brutalement.

Le temps caractéristique τ

Le produit \(\tau = R \times C\) est homogène à un temps : d'après la loi d'Ohm, un ohm est un volt par ampère ; d'après \(q = C \times u_C\), un farad est un coulomb par volt, soit des ampères multipliés par des secondes, par volt. Donc \(\Omega \times \text{F} = \dfrac{\text{V}}{\text{A}} \times \dfrac{\text{A} \cdot \text{s}}{\text{V}} = \text{s}\).

Le temps caractéristique τ se détermine à partir de la courbe \(u_{C(t)}\), enregistrée avec un oscilloscope, une carte d'acquisition ou un microcontrôleur :

• méthode des 63 % : à \(t = \tau\), \(u_C = E \times (1 - e^{-1}) \approx 0{,}63 \times E\). On lit l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée \(0{,}63\,E\) ;
• méthode de la tangente : la tangente à la courbe en \(t = 0\) coupe l'asymptote \(u_C = E\) à l'instant \(t = \tau\).

Au bout de \(5\tau\), \(u_C = E \times (1 - e^{-5}) \approx 0{,}99 \times E\) : on considère que le condensateur est chargé. Plus τ est grand, plus la charge est lente : on peut l'allonger en augmentant R ou C.

Capacité numérique : la méthode d'Euler

On peut aussi obtenir \(u_{C(t)}\) sans résoudre l'équation différentielle, en calculant la tension de proche en proche. D'après l'équation de la charge :

Pendant une durée très courte dt, la tension varie de \(du_C = \dfrac{du_C}{dt} \times dt\). Connaissant \(u_C\) à l'instant t, on calcule donc sa valeur à l'instant t + dt :

🐍 Ce programme part de \(u_C = 0\), applique cette relation pas à pas, puis compare le résultat à la solution exacte \(E \times \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)\).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

E = 6.0        # tension de la source (V)
R = 4.7e3      # résistance (ohm)
C = 220e-6     # capacité (F)
tau = R * C    # temps caractéristique (s)

dt = tau / 20                  # pas de temps (s)
t = np.arange(0, 6 * tau, dt)  # instants de calcul
u = np.zeros(len(t))           # u[0] = 0 : condensateur déchargé

# Méthode d'Euler : u(t + dt) = u(t) + du/dt × dt, avec du/dt = (E − u) / tau
for k in range(len(t) - 1):
    u[k + 1] = u[k] + (E - u[k]) / tau * dt

plt.plot(t, u, ".", label="méthode d'Euler")
plt.plot(t, E * (1 - np.exp(-t / tau)), label="solution exacte")
plt.axhline(0.63 * E, linestyle="--", color="gray", label="0,63 E")
plt.axvline(tau, linestyle=":", color="green", label="t = tau")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("u_C (V)")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

À essayer :

• Remplacez dt = tau / 20 par dt = tau / 2 : les points s'écartent de la solution exacte. La méthode d'Euler n'est précise que si le pas dt est petit devant τ.
• Modifiez R ou C : vérifiez que la courbe passe toujours par \(0{,}63\,E\) à \(t = \tau\).
• Adaptez le programme à la décharge : partez de u[0] = E et utilisez \(\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{u_C}{\tau}\).

Dispositif expérimental

Le condensateur, chargé sous la tension E, est maintenant relié à la résistance R seule : le générateur est retiré du circuit (c'est la position 2 de l'interrupteur dans l'animation). À l'instant \(t = 0\), on ferme K.

On garde les mêmes orientations que pour la charge. Le courant circule en réalité de l'armature positive vers l'armature négative à travers la résistance, donc dans le sens opposé à la flèche de i : pendant la décharge, l'intensité i est négative.

Équation différentielle et solution

Lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé sous la tension E :

• À \(t = \tau\), \(u_C = E \times e^{-1} \approx 0{,}37 \times E\) : la tension a perdu 63 % de sa valeur initiale. La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en \(t = \tau\).
• Au bout de \(5\tau\), \(u_C \lt 0{,}01 \times E\) : le condensateur est déchargé.

Principe

Un capteur capacitif est un condensateur dont la capacité varie avec la grandeur à mesurer : une pression ou un déplacement modifie la distance e entre les armatures, un doigt ou l'humidité modifie la permittivité ε ou la surface en regard. Un circuit électronique mesure cette capacité, souvent en mesurant le temps caractéristique \(\tau = RC\) de la charge du condensateur à travers une résistance connue.

• Écran tactile : le doigt, conducteur, modifie la capacité au point touché.
• Microphone électrostatique : l'onde sonore fait vibrer une membrane qui sert d'armature ; e, donc C, varie au rythme du son.
• Accéléromètre d'un smartphone : une petite masse mobile forme une armature ; ses déplacements modifient la capacité.
• Capteur d'humidité : la permittivité de l'isolant varie avec la quantité d'eau qu'il absorbe.

Exemple : le capteur de présence d'un passager

Dans certaines voitures, l'assise du siège passager contient deux feuilles d'aluminium séparées par une mousse isolante : c'est un condensateur plan. Quand un passager s'assoit, la mousse se tasse : la distance e entre les armatures diminue, donc la capacité \(C = \varepsilon \times \dfrac{S}{e}\) augmente. Le microcontrôleur mesure une charge plus lente (τ = RC plus grand) et en déduit la présence d'un passager, par exemple pour activer l'airbag.

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