Comment écrire un résultat de mesure, évaluer son incertitude et le comparer à une valeur de référence, avec des exercices pour s'entraîner.

Écrire un résultat de mesure

L'écriture \(x \pm u(x)\)

Un résultat de mesure s'écrit :

\[ x \pm u(x) \]

x est la valeur numérique de la grandeur mesurée ou calculée, et \(u(x)\) est son incertitude-type, qui s'exprime dans la même unité que x.

Un fabricant donne la longueur d'onde de son laser : \(\lambda = (650 \pm 5)\ \text{nm}\). Cela veut dire que la valeur de la longueur d'onde est, avec une forte probabilité, comprise entre 645 nm et 655 nm.

Intervalle de 645 à 655 nm centré sur 650 nm, de demi-largeur u = 5 nm

Les règles d'arrondi

On ne garde qu'un seul chiffre significatif pour \(u(x)\).
On arrondit toujours à la valeur supérieure (on ne sous-estime pas l'incertitude).
On donne x avec le même nombre de chiffres après la virgule que \(u(x)\).

La calculatrice donne \(x = 12{,}3467\ \text{cm}\) et \(u(x) = 0{,}0312\ \text{cm}\). On écrit \(u(x) = 0{,}04\ \text{cm}\) (un chiffre significatif, arrondi au-dessus), donc deux chiffres après la virgule pour x : \(x = (12{,}35 \pm 0{,}04)\ \text{cm}\).

Mesures répétées

Quand on répète n fois la même mesure dans les mêmes conditions, les valeurs obtenues sont dispersées. On donne alors comme résultat la moyenne \(\bar{x}\) des n valeurs, avec l'incertitude-type :

\[ u(\bar{x}) = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}} \]

\(\sigma_{n-1}\) est l'écart-type expérimental des n valeurs, donné par la calculatrice ou le tableur. On parle d'évaluation de type A.

Pour une mesure unique, on évalue l'incertitude à partir des indications du fabricant ou de la graduation de l'instrument : c'est une évaluation de type B.

L'incertitude relative

Précision d'une mesure

L'incertitude relative compare l'incertitude à la valeur mesurée :

\[ \dfrac{u(x)}{|x|} \]

Elle est sans unité. On la multiplie par 100 pour l'exprimer en %.

Pour le laser : \(\dfrac{u(\lambda)}{\lambda} = \dfrac{5}{650} \approx 0{,}008\), soit environ 0,8 %.

Plus l'incertitude relative est petite, plus la mesure est précise. Elle permet de comparer la précision de mesures de grandeurs différentes.

Incertitude sur une grandeur calculée

Plusieurs sources d'incertitude

Lorsqu'une grandeur a est calculée à partir de plusieurs grandeurs mesurées, par une relation du type :

\[ a = \dfrac{b \times c}{d} \quad \text{ou} \quad a = b \times c \times d \]

l'incertitude sur a se calcule à l'aide de la relation :

\[ \dfrac{u(a)}{a} = \sqrt{\left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{u(c)}{c}\right)^2 + \left(\dfrac{u(d)}{d}\right)^2} \]

Ce sont les incertitudes relatives qui se combinent : la grandeur la moins précise est celle qui pèse le plus. Un nombre exact (comme le 2 ci-dessous) n'apporte aucune incertitude.

Incertitude sur la taille d'un cheveu

On mesure la largeur L de la tache centrale de la figure de diffraction obtenue avec un cheveu éclairé en lumière monochromatique, à la distance D de l'écran. On rappelle :

\[ L = \dfrac{2 \times \lambda \times D}{a} \]

Données : \(\lambda = (650 \pm 5)\ \text{nm}\) ; \(D = (4{,}00 \pm 0{,}04)\ \text{m}\) ; \(L = (5{,}1 \pm 0{,}1)\ \text{cm}\).

Calculez la taille a du cheveu, avec son incertitude.

📖

1. Exprimez a en fonction de λ, D et L, puis calculez sa valeur.

💡 Indice

Isolez a, et convertissez toutes les longueurs en mètres.

\[ a = \dfrac{2 \times \lambda \times D}{L} \]

\(a = \dfrac{2 \times 650 \times 10^{-9} \times 4{,}00}{5{,}1 \times 10^{-2}}\) \(\approx 1{,}02 \times 10^{-4}\ \text{m}\), soit environ 102 µm.

📖

2. Calculez l'incertitude relative sur a.

💡 Indice

a est de la forme \(\dfrac{b \times c}{d}\) : combinez les incertitudes relatives de λ, D et L. Le facteur 2 est exact.

\[ \dfrac{u(a)}{a} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2 + \left(\dfrac{u(D)}{D}\right)^2 + \left(\dfrac{u(L)}{L}\right)^2} \]

\(\dfrac{u(a)}{a} =\) \(\sqrt{(5/650)^2 + (0{,}04/4{,}00)^2 + (0{,}1/5{,}1)^2}\) \(\approx 0{,}023\), soit environ 2,3 %.

C'est la mesure de L, la moins précise (2 %), qui pèse le plus.

📖

3. Déduisez-en \(u(a)\) et écrivez le résultat correctement.

💡 Indice

\(u(a) = a \times \dfrac{u(a)}{a}\), puis un seul chiffre significatif, arrondi au-dessus.

\(u(a) = 102 \times 0{,}023 \approx 2{,}3\ \text{µm}\), arrondi à 3 µm :

\[ a = (102 \pm 3)\ \text{µm} \]

Pour une somme ou une différence (\(a = b + c\) ou \(a = b - c\)), ce sont les incertitudes elles-mêmes qui se combinent : \(u(a) = \sqrt{u(b)^2 + u(c)^2}\).

Comparer à une valeur de référence

Le z-score

On compare une valeur mesurée \(x_{\text{mes}}\) à une valeur de référence \(x_{\text{réf}}\) en calculant le quotient :

\[ z = \dfrac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{réf}}|}{u(x_{\text{mes}})} \]

Ce quotient, sans unité, est appelé z-score : c'est l'écart à la référence rapporté à l'incertitude de mesure.

On peut convenir du critère suivant (il dépend du niveau de confiance choisi) :

si \(z \gt 2\), il y a incompatibilité : la mesure n'est pas jugée convenable au regard de la référence ;
si \(z \lt 2\), il y a compatibilité : la mesure est jugée compatible avec la valeur de référence.

Un élève mesure \(g = (9{,}78 \pm 0{,}02)\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\). La valeur de référence au lieu de mesure est \(g_{\text{réf}} = 9{,}80\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\) : \(z = \dfrac{|9{,}78 - 9{,}80|}{0{,}02} = 1\). On a \(z \lt 2\) : la mesure est compatible avec la référence.

Bilan

L'essentiel à retenir.

Écriture d'un résultat

u(x) dans la même unité que x.
Un seul chiffre significatif pour u(x), arrondi au-dessus.
Même nombre de décimales pour x.

\( x \pm u(x) \)

Mesures répétées

On donne la moyenne des n mesures.
\(\sigma_{n-1}\) : écart-type donné par la calculatrice.

\[ u(\bar{x}) = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}} \]

Incertitudes relatives

Sans unité, souvent en %.
Pour un produit ou un quotient, leurs carrés s'additionnent.

\[ \dfrac{u(a)}{a} = \sqrt{\left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{u(c)}{c}\right)^2} \]

z-score

\(z \lt 2\) : mesure compatible avec la référence.
\(z \gt 2\) : mesure incompatible.

\[ z = \dfrac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{réf}}|}{u(x_{\text{mes}})} \]

Exercices

Exercice 1 : texte à trous

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2 : Vrai ou faux ?

📝 Réponds par Vrai ou Faux :

Exercice 3 : QCM 📄 ✏️ 🧮

📝 Un groupe mesure \(g = (9{,}72 \pm 0{,}04)\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\). La valeur de référence est \(g_{\text{réf}} = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\). Quelles affirmations sont exactes ?

Le z-score vaut environ 2,3.
La mesure est compatible avec la valeur de référence.
L'incertitude relative sur g vaut environ 0,4 %.
Le z-score n'a pas d'unité.
Plus l'incertitude de mesure est petite, plus le z-score est petit.

Exercice 4 : Écrire correctement un résultat 📄 ✏️

La calculatrice a donné les valeurs suivantes. Écrivez chaque résultat sous la forme \(x \pm u(x)\), en respectant les règles d'arrondi.

📖

1. \(m = 12{,}3467\ \text{g}\) et \(u(m) = 0{,}0213\ \text{g}\).

💡 Indice

Un seul chiffre significatif pour u, arrondi à la valeur supérieure.

\(u(m) = 0{,}03\ \text{g}\), donc deux décimales pour m : \(m = (12{,}35 \pm 0{,}03)\ \text{g}\).

📖

2. \(T = 1{,}2834\ \text{s}\) et \(u(T) = 0{,}0071\ \text{s}\).

💡 Indice

Le premier chiffre significatif de u est au rang des millièmes.

\(u(T) = 0{,}008\ \text{s}\), donc trois décimales pour T : \(T = (1{,}283 \pm 0{,}008)\ \text{s}\).

📖

3. \(V = 24{,}96\ \text{mL}\) et \(u(V) = 0{,}12\ \text{mL}\).

💡 Indice

Arrondir u au-dessus donne 0,2 mL : combien de décimales reste-t-il pour V ?

\(u(V) = 0{,}2\ \text{mL}\), donc une seule décimale pour V : \(V = (25{,}0 \pm 0{,}2)\ \text{mL}\).

Exercice 5 : Mesures répétées 📄 ✏️ 🧮

Six élèves chronomètrent la durée de chute d'une bille lâchée de la même hauteur. Ils obtiennent (en s) :

élève	1	2	3	4	5	6
t (s)	0,452	0,448	0,455	0,449	0,451	0,447

📖

1. Calculer la moyenne \(\bar{t}\) et l'écart-type \(\sigma_{n-1}\) de ces mesures.

💡 Indice

Utilisez le mode statistiques de la calculatrice (ou un tableur : MOYENNE et ECARTYPE).

\(\bar{t} \approx 0{,}4503\ \text{s}\) et \(\sigma_{n-1} \approx 0{,}0029\ \text{s}\).

📖

2. En déduire l'incertitude-type sur la moyenne, puis écrire le résultat.

💡 Indice

\(u(\bar{t}) = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}\), avec n = 6.

\(u(\bar{t}) = \dfrac{0{,}0029}{\sqrt{6}} \approx 0{,}0012\ \text{s}\), arrondi à 0,002 s :

\[ t = (0{,}450 \pm 0{,}002)\ \text{s} \]

📖

3. Que deviendrait l'incertitude avec 24 mesures de même dispersion ?

💡 Indice

n est multiplié par 4 : par combien \(\sqrt{n}\) est-il multiplié ?

\(\sqrt{n}\) est multiplié par 2 : l'incertitude est divisée par 2. Répéter les mesures améliore la précision, mais lentement.

Exercice 6 : Masse volumique d'un sirop 📄 ✏️ 🧮

Pour déterminer la masse volumique d'une solution sucrée, on pèse un volume \(V = (25{,}0 \pm 0{,}1)\ \text{mL}\) prélevé à la pipette jaugée. On trouve \(m = (25{,}32 \pm 0{,}02)\ \text{g}\). L'étiquette indique \(\rho_{\text{réf}} = 1{,}010\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}\).

📖

1. Calculer la masse volumique ρ de la solution.

💡 Indice

\(\rho = \dfrac{m}{V}\).

\(\rho = \dfrac{25{,}32}{25{,}0} \approx 1{,}0128\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}\).

📖

2. Calculer \(u(\rho)\) et écrire le résultat.

💡 Indice

ρ est un quotient : combinez les incertitudes relatives de m et de V.

\(\dfrac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{\left(\dfrac{0{,}02}{25{,}32}\right)^2 + \left(\dfrac{0{,}1}{25{,}0}\right)^2}\) \(\approx 0{,}0041\)

\(u(\rho) = 1{,}0128 \times 0{,}0041\) \(\approx 0{,}0041\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}\), arrondi à 0,005 :

\[ \rho = (1{,}013 \pm 0{,}005)\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}} \]

📖

3. La mesure est-elle compatible avec l'étiquette ?

💡 Indice

Calculez le z-score et comparez-le à 2.

\(z = \dfrac{|1{,}013 - 1{,}010|}{0{,}005} = 0{,}6\). On a \(z \lt 2\) : la mesure est compatible avec la valeur de l'étiquette.

Exercice 7 : Vitesse du son 📄 ✏️ 🧮

Deux microphones sont placés à la distance \(d = (1{,}000 \pm 0{,}005)\ \text{m}\) l'un de l'autre. Un claquement de mains les atteint avec un décalage \(\Delta t = (2{,}92 \pm 0{,}03)\ \text{ms}\). La valeur de référence à 20 °C est \(v_{\text{réf}} = 343\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

📖

1. Calculer la vitesse v du son.

💡 Indice

\(v = \dfrac{d}{\Delta t}\), avec Δt en secondes.

\(v = \dfrac{1{,}000}{2{,}92 \times 10^{-3}} \approx 342{,}5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

📖

2. Calculer \(u(v)\) et écrire le résultat. Quelle mesure limite la précision ?

💡 Indice

Comparez les incertitudes relatives de d et de Δt.

\(\dfrac{u(v)}{v} = \sqrt{\left(\dfrac{0{,}005}{1{,}000}\right)^2 + \left(\dfrac{0{,}03}{2{,}92}\right)^2}\) \(\approx 0{,}0114\)

\(u(v) = 342{,}5 \times 0{,}0114\) \(\approx 3{,}9\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\), arrondi à 4 :

\[ v = (342 \pm 4)\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \]

L'incertitude relative sur Δt (1 %) est deux fois plus grande que celle sur d (0,5 %) : c'est la mesure de durée qui limite la précision.

📖

3. Comparer le résultat à la valeur de référence.

💡 Indice

\(z = \dfrac{|v - v_{\text{réf}}|}{u(v)}\).

\(z = \dfrac{|342 - 343|}{4} = 0{,}25\). On a \(z \lt 2\) : la mesure est compatible avec la valeur de référence.