Superposition de deux ondes

Deux ondes synchrones

Quand deux ondes de même nature arrivent en un même point, leurs perturbations s'ajoutent : c'est la superposition des ondes. On considère deux ondes sinusoïdales synchrones, c'est-à-dire de même période T (donc de même fréquence), et de même amplitude A.

En un point donné, l'une peut être en retard d'une durée Δt sur l'autre. Le signal obtenu \(s_{(t)} = s_{1(t)} + s_{2(t)}\) est encore sinusoïdal, de période T, mais son amplitude dépend de ce retard.

retard Δt du signal 2

Deux ondes synchrones dont le décalage reste constant au cours du temps sont dites cohérentes. Leur superposition donne alors un phénomène stable :

en un point où elles arrivent en phase (retard \(\Delta t = 0,\ T,\ 2T…\)), l'amplitude est maximale (2A) : les interférences sont constructives ;
en un point où elles arrivent en opposition de phase (retard \(\Delta t = \dfrac{T}{2},\ \dfrac{3T}{2}…\)), l'amplitude est minimale (nulle si les amplitudes sont égales) : les interférences sont destructives.

Deux sources indépendantes (deux lampes, deux lasers) ne sont pas cohérentes : leur décalage change sans cesse et l'on n'observe pas d'interférences. En pratique, on fabrique deux sources cohérentes à partir d'une seule source : deux fentes éclairées par le même laser, deux pointes reliées au même vibreur dans une cuve à ondes, deux haut-parleurs branchés sur le même générateur.

🐍 Capacité numérique : ce programme trace deux signaux synchrones et leur somme. Modifiez la phase à l'origine phi du signal 2 (0, π/2, π…) et observez l'amplitude de la somme.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A = 1.0            # amplitude des deux signaux
T = 2.0            # période commune (s)
phi = np.pi / 2    # phase à l'origine du signal 2 (rad) : essayez 0, np.pi/2, np.pi

t = np.linspace(0, 3 * T, 600)
s1 = A * np.cos(2 * np.pi * t / T)
s2 = A * np.cos(2 * np.pi * t / T + phi)
s = s1 + s2

plt.plot(t, s1, label="signal 1")
plt.plot(t, s2, label="signal 2")
plt.plot(t, s, linewidth=3, label="somme")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("signal")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Interférences de deux ondes

Le phénomène

Deux ondes issues de deux sources cohérentes qui se superposent dans une même région de l'espace produisent des interférences : on observe des zones fixes où l'amplitude est maximale (interférences constructives) et des zones où elle est minimale (interférences destructives). Pour la lumière, ce sont des franges alternativement brillantes et sombres.

À la surface de l'eau, deux pointes frappent la surface en même temps : certaines lignes restent presque immobiles (interférences destructives) tandis qu'entre elles l'eau oscille fortement.

distance S₁S₂ entre les sources

lignes d'interférences destructives

La différence de marche

Deux sources S₁ et S₂ émettent en phase deux ondes de même longueur d'onde λ, dans un milieu homogène où elles se propagent à la même célérité c. Un point P est à la distance \(d_1 = S_1P\) de la première source et \(d_2 = S_2P\) de la seconde.

La différence de marche au point P est la différence des distances parcourues par les deux ondes :

\[ \delta = d_2 - d_1 = S_2P - S_1P \]

δ s'exprime en mètres.

Établissez les conditions d'interférences constructives et destructives en un point P. ✏️

📖

1. Exprimez le retard Δt de l'onde 2 sur l'onde 1 au point P.

💡 Indice

Les deux ondes partent en même temps ; l'onde 2 parcourt la distance supplémentaire δ à la célérité c.

\(\Delta t = \dfrac{d_2}{c} - \dfrac{d_1}{c} = \dfrac{\delta}{c}\).

📖

2. Les ondes arrivent en phase si le retard est un nombre entier de périodes. Déduisez-en une condition sur δ.

💡 Indice

Écrivez \(\Delta t = k\,T\) avec k entier, puis utilisez \(\lambda = c \times T\).

\(\dfrac{\delta}{c} = k\,T\), donc \(\delta = k \times c\,T = k\,\lambda\) : la différence de marche est un nombre entier de longueurs d'onde.

📖

3. Même question pour des ondes en opposition de phase.

\(\Delta t = \left(k + \dfrac{1}{2}\right) T\), donc \(\delta = \left(k + \dfrac{1}{2}\right) \lambda\) : la différence de marche est un nombre demi-entier de longueurs d'onde.

Pour deux sources ponctuelles en phase, dans un milieu homogène :

interférences constructives en P si \(\delta = k\,\lambda\) ;
interférences destructives en P si \(\delta = \left(k + \dfrac{1}{2}\right)\lambda\) ;

où k est un entier relatif (…, −2, −1, 0, 1, 2…), appelé ordre d'interférence.

Des conséquences concrètes

Couleurs interférentielles : les irisations des bulles de savon, d'une flaque d'huile, des ailes de certains papillons ou d'un CD viennent d'interférences entre la lumière réfléchie par deux surfaces très proches. Selon l'épaisseur, certaines couleurs sont renforcées, d'autres éteintes.
Casques antibruit : un microphone capte le bruit et le casque émet un son en opposition de phase, qui l'atténue par interférences destructives.
Couches antireflet des lunettes et des objectifs : une fine couche crée des interférences destructives pour la lumière réfléchie.
Mesures de très grande précision : les interféromètres mesurent des distances bien plus petites que λ (détection des ondes gravitationnelles par LIGO et Virgo).

L'expérience des fentes d'Young

Dispositif et observation

Un laser de longueur d'onde λ éclaire deux fentes fines (ou deux trous) S₁ et S₂, parallèles et distantes de a. Chaque fente diffracte la lumière : les deux faisceaux diffractés, issus du même laser, sont cohérents et se superposent. Un écran est placé à la distance D, grande devant a.

Sur l'écran, la tache centrale de diffraction est striée de franges brillantes et sombres, équidistantes et perpendiculaires à la direction S₁S₂.

L'interfrange i est la distance entre les centres de deux franges brillantes (ou de deux franges sombres) consécutives.

Différence de marche en un point de l'écran

Un point M de l'écran est repéré par son abscisse x, comptée à partir du point O situé en face du milieu des fentes. On note \(d_1 = S_1M\) et \(d_2 = S_2M\).

Montrez que, si D est très grande devant a et devant x, la différence de marche au point M s'écrit \(\delta = d_2 - d_1 = \dfrac{a\,x}{D}\). On admettra que \(d_1 + d_2 \approx 2D\). 📄 ✏️

📖

1. Exprimez \(d_1^2\) et \(d_2^2\) en fonction de D, a et x.

💡 Indice

Utilisez le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles formés par chaque fente, M et la projection de la fente sur l'écran. La fente S₁ est à la hauteur \(\dfrac{a}{2}\), la fente S₂ à la hauteur \(-\dfrac{a}{2}\).

\[ d_1^2 = D^2 + \left(x - \dfrac{a}{2}\right)^2 \qquad d_2^2 = D^2 + \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 \]

📖

2. Calculez \(d_2^2 - d_1^2\) et simplifiez.

💡 Indice

Développez les deux carrés : \(D^2\), \(x^2\) et \(\dfrac{a^2}{4}\) disparaissent.

\(d_2^2 - d_1^2 = \left(x^2 + a\,x + \dfrac{a^2}{4}\right) - \left(x^2 - a\,x + \dfrac{a^2}{4}\right) = 2\,a\,x\).

📖

3. Factorisez \(d_2^2 - d_1^2\) à l'aide d'une identité remarquable.

\(d_2^2 - d_1^2 = (d_2 - d_1)(d_2 + d_1)\), donc \((d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = 2\,a\,x\).

📖

4. Utilisez l'approximation \(d_1 + d_2 \approx 2D\) pour conclure.

\((d_2 - d_1) \times 2D = 2\,a\,x\), d'où :

\[ \delta = d_2 - d_1 = \dfrac{a\,x}{D} \]

Lorsque la distance D est grande devant a et devant x, la différence de marche au point M d'abscisse x vaut :

\[ \delta = d_2 - d_1 = \dfrac{a\,x}{D} \]

L'interfrange

Sur l'écran, on repère les franges par leur abscisse x, comptée à partir du centre de la frange brillante centrale (ordre 0) :

Au point M, les interférences sont constructives si \(\delta = k\,\lambda\), c'est-à-dire \(\dfrac{a\,x}{D} = k\,\lambda\). Les franges brillantes sont donc aux abscisses \(x_k = k\,\dfrac{\lambda D}{a}\) : elles sont équidistantes. L'interfrange est l'écart entre deux franges brillantes consécutives, \(i = x_{k+1} - x_k\) :

\[ i = \dfrac{\lambda\,D}{a} \]

i, λ, D et a en mètres. La frange centrale (x = 0, δ = 0) est toujours brillante. Les franges sombres sont à mi-chemin entre deux franges brillantes, en \(x = \left(k + \dfrac{1}{2}\right) i\).

longueur d'onde λ du laser

distance a entre les fentes

lumière blanche

En lumière blanche, chaque radiation donne ses propres franges, d'interfrange proportionnel à λ. Seule la frange centrale (δ = 0) est brillante pour toutes les couleurs : elle est blanche, bordée de franges irisées qui se brouillent rapidement.

Mesurer une longueur d'onde

L'interfrange est petit (quelques millimètres) : pour le mesurer précisément, on mesure la distance \(\ell\) occupée par plusieurs interfranges (par exemple 10), puis on divise. On peut aussi photographier la figure et la mesurer avec un logiciel de traitement d'image, après avoir étalonné l'image avec une règle placée sur l'écran.

Des fentes d'Young distantes de \(a = 0{,}50\ \text{mm}\) sont éclairées par un laser. Sur un écran placé à \(D = 2{,}00\ \text{m}\), on mesure 10 interfranges sur une longueur \(\ell = 2{,}6\ \text{cm}\). 🧮

📖

1. Calculez l'interfrange.

\(i = \dfrac{\ell}{10} = \dfrac{2{,}6\ \text{cm}}{10} = 0{,}26\ \text{cm} = 2{,}6 \times 10^{-3}\ \text{m}\).

📖

2. Déduisez-en la longueur d'onde du laser.

💡 Indice

Isolez λ dans \(i = \dfrac{\lambda D}{a}\) et convertissez a en mètres.

\(\lambda = \dfrac{i \times a}{D} = \dfrac{2{,}6 \times 10^{-3} \times 0{,}50 \times 10^{-3}}{2{,}00} = 6{,}5 \times 10^{-7}\ \text{m}\), soit 650 nm : un laser rouge.

Bilan

L'essentiel à retenir du chapitre.

Conditions d'observation

Deux ondes synchrones (même fréquence) et cohérentes (décalage constant).
En pratique : deux sources secondaires issues d'une même source.

Constructives ou destructives

En phase : amplitude maximale, interférences constructives.
En opposition de phase : amplitude minimale, interférences destructives.

Différence de marche

\(\delta = d_2 - d_1\) ; sources en phase, milieu homogène.
Constructives : \(\delta = k\,\lambda\).
Destructives : \(\delta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda\).

Fentes d'Young

Tache de diffraction striée de franges équidistantes.
\(\delta = \dfrac{a\,x}{D}\) (D grande devant a et x).
Mesurer plusieurs interfranges pour plus de précision.

\( i = \dfrac{\lambda\,D}{a} \)

Conséquences

Couleurs interférentielles (bulles, papillons, CD).
Casques antibruit, couches antireflet, interféromètres.

Exercices

Exercice 1 : texte à trous sur les interférences

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2 : Vrai ou faux sur les interférences

📝 Réponds par Vrai ou Faux :

Exercice 3 : QCM sur l'interfrange 🧮

📝 Des fentes d'Young distantes de \(a = 0{,}40\ \text{mm}\) sont éclairées par un laser vert de longueur d'onde \(\lambda = 532\ \text{nm}\). L'écran est à \(D = 1{,}50\ \text{m}\). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes ?

L'interfrange vaut environ 2,0 mm.
L'interfrange vaut environ 2,0 cm.
Avec des fentes plus rapprochées, les franges seraient plus espacées.
Avec un laser rouge, les franges seraient plus serrées.
En éloignant l'écran, l'interfrange augmente.
Au centre de l'écran (x = 0), on observe une frange brillante.
Au point d'abscisse x = 1,0 mm, on observe une frange brillante.

Exercice 4 : deux haut-parleurs dans une salle 📄 ✏️ 🧮

Deux haut-parleurs S₁ et S₂, branchés sur le même générateur, émettent en phase un son de fréquence \(f = 1{,}70\ \text{kHz}\). La célérité du son dans l'air est \(c = 340\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\). Un microphone est placé successivement en deux points :

au point P : \(S_1P = 3{,}00\ \text{m}\) et \(S_2P = 3{,}40\ \text{m}\) ;
au point Q : \(S_1Q = 2{,}50\ \text{m}\) et \(S_2Q = 2{,}80\ \text{m}\).

📖

1. Pourquoi les deux ondes sonores sont-elles cohérentes ?

Les deux haut-parleurs sont alimentés par le même générateur : ils émettent à la même fréquence, avec un décalage constant (ici en phase).

📖

2. Calculez la longueur d'onde du son.

💡 Indice

\(\lambda = \dfrac{c}{f}\), avec f en hertz.

\(\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{340}{1{,}70 \times 10^{3}} = 0{,}200\ \text{m}\).

📖

3. Le son est-il fort ou faible au point P ? au point Q ?

💡 Indice

Calculez δ en chaque point, puis le rapport \(\dfrac{\delta}{\lambda}\) : est-il entier ou demi-entier ?

En P : \(\delta = 3{,}40 - 3{,}00 = 0{,}40\ \text{m}\) et \(\dfrac{\delta}{\lambda} = \dfrac{0{,}40}{0{,}200} = 2\) : δ = 2λ, les interférences sont constructives, le son est fort.

En Q : \(\delta = 2{,}80 - 2{,}50 = 0{,}30\ \text{m}\) et \(\dfrac{\delta}{\lambda} = 1{,}5\) : δ = (1 + ½)λ, les interférences sont destructives, le son est faible.

📖

4. On coupe le haut-parleur S₂. Comment évolue le son capté en Q ?

Il n'y a plus d'interférences destructives : le microphone capte l'onde de S₁ seule, le son en Q devient plus fort. Couper une source peut donc augmenter le son en certains points !

Exercice 5 : déterminer la distance entre deux fentes 📄 ✏️ 🧮

Un laser hélium-néon (\(\lambda = 633\ \text{nm}\)) éclaire deux fentes fines parallèles. Sur un écran situé à \(D = 2{,}50\ \text{m}\), on observe des franges. On mesure la distance entre le centre de la frange brillante centrale et le centre de la 5^e frange brillante à sa droite : \(\ell = 1{,}58\ \text{cm}\). On donne la différence de marche en un point d'abscisse x de l'écran : \(\delta = \dfrac{a\,x}{D}\).

📖

1. Montrez que les franges brillantes sont équidistantes et exprimez l'interfrange i.

💡 Indice

Écrivez la condition d'interférences constructives \(\delta = k\,\lambda\) et isolez x.

Frange brillante : \(\dfrac{a\,x_k}{D} = k\,\lambda\), donc \(x_k = k\,\dfrac{\lambda D}{a}\). Deux franges brillantes consécutives sont séparées de \(i = x_{k+1} - x_k = \dfrac{\lambda D}{a}\), indépendant de k : elles sont équidistantes.

📖

2. Calculez l'interfrange.

Entre la frange centrale et la 5^e frange brillante, il y a 5 interfranges : \(i = \dfrac{\ell}{5} = \dfrac{1{,}58\ \text{cm}}{5} = 0{,}316\ \text{cm} = 3{,}16 \times 10^{-3}\ \text{m}\).

📖

3. Déduisez-en la distance a entre les fentes.

\(a = \dfrac{\lambda D}{i} = \dfrac{633 \times 10^{-9} \times 2{,}50}{3{,}16 \times 10^{-3}} = 5{,}01 \times 10^{-4}\ \text{m}\), soit environ 0,50 mm.

📖

4. Le point de l'écran d'abscisse \(x = 7{,}9\ \text{mm}\) est-il sur une frange brillante ou sombre ?

\(\dfrac{x}{i} = \dfrac{7{,}9}{3{,}16} = 2{,}5\) : x = (2 + ½) i, c'est le milieu entre la 2^e et la 3^e frange brillante, donc une frange sombre (\(\delta = 2{,}5\,\lambda\)).

Vers le bac

S'entraîner sur des sujets de bac

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⚠️ Les sujets associent souvent interférences et 🔗 diffraction (la figure des fentes d'Young est une tache de diffraction striée de franges), et demandent fréquemment une étude d'incertitudes sur la mesure de i ou de λ : revoyez la fiche 🔗 incertitudes.

Un exercice de bac porte rarement sur un seul chapitre : certaines questions peuvent faire appel à d'autres notions du programme. Ne vous inquiétez pas si l'une d'elles vous semble hors sujet : elle sera traitée dans un autre chapitre.