L'énergie d'un système
L'énergie mécanique
Rappel de première : l'énergie mécanique d'un objet est la somme de son énergie cinétique, liée à sa vitesse, et de son énergie potentielle de pesanteur, liée à son altitude.
Les énergies s'expriment en joules (J), la masse m en kg, la vitesse v en m·s⁻¹, l'altitude z en m (axe vertical orienté vers le haut) et \(g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\).
Conservation de l'énergie mécanique
Un objet est lâché sans vitesse initiale du haut de la tour de Pise, de hauteur \(h = 50\ \text{m}\). On néglige les frottements.
💡 Indice
Au départ, la vitesse est nulle ; au sol, l'altitude est nulle.Au départ : \(E_{m,\text{départ}} = 0 + m\,g\,h\). Au sol : \(E_{m,\text{sol}} = \dfrac{1}{2}\,m\,v^2 + 0\).
💡 Indice
Égalez les deux expressions : la masse se simplifie.\(\dfrac{1}{2}\,m\,v^2 = m\,g\,h\), d'où l'expression ci-dessous : \(v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 50} = 31\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\), soit environ 113 km/h.
La vitesse au sol d'un objet lâché sans vitesse initiale, sans frottements, ne dépend pas de sa masse :
Avec des frottements
En réalité, l'air freine l'objet : son énergie mécanique diminue. Cette énergie n'est pas perdue : les frottements échauffent l'objet et l'air autour de lui. Elle est transférée à l'échelle microscopique, sous forme d'énergie interne.
L'énergie interne
- les énergies cinétiques microscopiques, dues à l'agitation thermique des particules (translation, rotation, vibration) : elles augmentent avec la température ;
- les énergies potentielles microscopiques, dues aux interactions entre les particules : forces intermoléculaires, liaisons chimiques, interactions dans les noyaux.
L'énergie totale d'un système est la somme de son énergie mécanique (échelle macroscopique) et de son énergie interne (échelle microscopique) :
Le modèle du gaz parfait
Les grandeurs macroscopiques
Un système thermodynamique contient un nombre immense de particules : on ne peut pas suivre chacune d'elles. On le décrit à notre échelle (macroscopique) par quelques grandeurs mesurables, les variables d'état, que l'on relie au comportement des particules (échelle microscopique) :
| Variable d'état | Unité | Interprétation microscopique |
|---|---|---|
| masse volumique ρ | kg·m⁻³ | particules serrées ou espacées |
| quantité de matière n | mol | nombre de particules |
| température T | K | agitation des particules (énergie cinétique moyenne) |
| pression P | Pa | chocs des particules sur les parois |
| volume V | m³ | espace occupé par le gaz |
L'équation d'état du gaz parfait
- T augmente : les particules s'agitent davantage et frappent les parois plus fort et plus souvent : P augmente.
- n augmente : il y a plus de chocs : P augmente.
- V diminue : les particules atteignent plus souvent les parois : P augmente.
Combien de molécules d'air contient un petit cube de 1 cm³, à 20 °C et sous la pression atmosphérique \(P = 1015\ \text{hPa}\) ? Donnée : \(N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\).
💡 Indice
1 hPa = 100 Pa ; 1 cm³ = \(10^{-6}\ \mathrm{m^3}\) ; T = θ + 273,15.\(P = 1{,}015 \times 10^{5}\ \text{Pa}\) ; \(V = 1{,}0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^3}\) ; \(T = 293{,}15\ \text{K}\).
💡 Indice
\(n = \dfrac{P\,V}{R\,T}\).\(n = \dfrac{1{,}015 \times 10^{5} \times 1{,}0 \times 10^{-6}}{8{,}314 \times 293{,}15} = 4{,}165 \times 10^{-5}\ \text{mol}\).
💡 Indice
\(N = n \times N_A\).\(N = 4{,}165 \times 10^{-5} \times 6{,}02 \times 10^{23}\) : on obtient le résultat ci-dessous.
Un cube d'air de 1 cm³ contient environ :
Les limites du modèle
Le modèle du gaz parfait décrit bien les gaz réels lorsqu'ils sont peu denses : pression faible (de l'ordre de la pression atmosphérique) et température pas trop basse. Les particules sont alors très éloignées les unes des autres.
- à haute pression : les particules sont proches, leur volume propre et leurs interactions ne sont plus négligeables ;
- à basse température, près de la liquéfaction : les interactions entre particules deviennent importantes ;
- pour les liquides et les solides, où les particules sont au contact les unes des autres.
Le premier principe de la thermodynamique
Travail et transfert thermique
On étudie un système fermé : il n'échange pas de matière avec l'extérieur, mais il peut échanger de l'énergie, de deux façons :
- par travail W : transfert d'énergie à l'échelle macroscopique, par une force qui déplace son point d'application (piston, frottements, agitateur) ou par le courant électrique (travail électrique) ;
- par transfert thermique Q : transfert d'énergie à l'échelle microscopique, par les chocs entre particules, d'un corps chaud vers un corps froid (on dit souvent « chaleur »).
Énoncé du premier principe
Le plus souvent, le système est au repos à notre échelle : son énergie mécanique ne varie pas et seule son énergie interne change :
- ΔU est une variation : elle ne dépend que de l'état initial et de l'état final du système ;
- W et Q sont des transferts d'énergie entre le système et l'extérieur, au cours de la transformation.
Imaginons que l'invention de Gaston fonctionne : en pédalant, il fait tourner un batteur dans la marmite, posée sur un réchaud. Le système étudié est le contenu de la marmite.
💡 Indice
Une force qui fait tourner le batteur : quel mode de transfert ? Et le réchaud, plus chaud que la soupe ?Le batteur, mis en mouvement par le pédalier, fournit un travail \(W \gt 0\) ; le réchaud fournit un transfert thermique \(Q_1 \gt 0\).
💡 Indice
La soupe chaude cède un transfert thermique à l'air plus froid : \(Q_2 \lt 0\).\(\Delta U = W + Q_1 + Q_2\) avec \(Q_2 \lt 0\). Si \(W + Q_1 \gt |Q_2|\), l'énergie interne de la soupe augmente : elle chauffe.
Le sens d'un transfert thermique
À l'échelle microscopique, les particules les plus agitées (corps chaud) cèdent une partie de leur énergie cinétique aux particules moins agitées (corps froid), lors des chocs.
Prévoyez le sens du transfert thermique dans chaque cas.
💡 Indice
Qui est le plus chaud ? Le café reçoit-il ou cède-t-il de l'énergie ?Du café vers l'air de la pièce : le café cède de l'énergie, \(Q \lt 0\) ; il refroidit jusqu'à 20 °C.
💡 Indice
Le glaçon est le corps froid.De l'eau vers le glaçon : le glaçon reçoit de l'énergie, \(Q \gt 0\) ; il se réchauffe puis fond.
Bilan d'énergie d'un système incompressible
Capacité thermique et énergie interne
Un solide ou un liquide est un système incompressible : son volume ne varie quasiment pas. Lorsque sa température passe de \(T_i\) à \(T_f\), sans changement d'état, la variation de son énergie interne vaut :
- C est la capacité thermique du système, en J·K⁻¹ ;
- c est la capacité thermique massique du matériau, en J·kg⁻¹·K⁻¹ : c'est l'énergie qu'il faut fournir pour élever de 1 K (ou 1 °C) la température de 1 kg de ce matériau ;
- m est la masse en kg. Une variation de température a la même valeur en K et en °C.
| Matériau | eau | éthanol | aluminium | brique | verre | cuivre |
|---|---|---|---|---|---|---|
| c (J·kg⁻¹·K⁻¹) | 4180 | 2430 | 897 | 840 | 720 | 385 |
Calculez des variations d'énergie interne.
💡 Indice
C'est la définition de la capacité thermique massique.\(\Delta U = 1 \times 4180 \times 1 = 4180\ \text{J}\) : c'est la valeur de \(c_{\text{eau}}\).
💡 Indice
Masse en kg : m = 0,150 kg.\(\Delta U = 0{,}150 \times 4180 \times (65 - 15) = 3{,}14 \times 10^{4}\ \text{J}\) : l'eau a reçu 31,4 kJ.
Bilan d'énergie : le calorimètre
Un calorimètre est un récipient isolé thermiquement : le système qu'il contient n'échange (presque) pas d'énergie avec l'extérieur. On y mélange deux corps de températures différentes, sans travail reçu : le premier principe donne \(\Delta U = 0\).
Dans un calorimètre, on mélange un corps 1 (masse \(m_1\), capacité thermique massique \(c_1\), température \(T_1\)) et un corps 2 (\(m_2\), \(c_2\), \(T_2\)). Exprimez la température finale \(T_f\).
💡 Indice
À la fin, les deux corps sont à la même température \(T_f\).\(\Delta U_1 = m_1\,c_1\,(T_f - T_1)\) et \(\Delta U_2 = m_2\,c_2\,(T_f - T_2)\).
💡 Indice
Le système est isolé : W = 0 et Q = 0.L'énergie cédée par le corps chaud est reçue par le corps froid.
💡 Indice
Développez, puis regroupez les termes en \(T_f\).\((m_1 c_1 + m_2 c_2)\,T_f = m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2\) : on obtient l'expression ci-dessous.
La température finale est une moyenne des températures initiales, pondérée par les capacités thermiques :
Calculez la température finale dans les deux cas suivants (calorimètre parfaitement isolé).
💡 Indice
Les deux corps sont de l'eau : c se simplifie.\(T_f = \dfrac{0{,}100 \times 20 + 0{,}150 \times 50}{0{,}100 + 0{,}150} = 38\ \text{°C}\).
💡 Indice
\(m_1 c_1 = 0{,}100 \times 4180 = 418\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}\) et \(m_2 c_2 = 0{,}100 \times 385 = 38{,}5\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}\).\(T_f = \dfrac{418 \times 20 + 38{,}5 \times 100}{418 + 38{,}5} = 26{,}7\ \text{°C}\). L'eau, de bien plus grande capacité thermique, impose presque sa température. Vérifiez avec l'animation !
Bilan
L'essentiel à retenir du chapitre.
Énergie d'un système
- Sans frottements, \(E_m = E_c + E_p\) se conserve.
- U : énergies cinétiques (agitation) et potentielles (interactions) microscopiques.
Gaz parfait
- Particules de taille négligeable, sans interaction.
- T en K : \(T = \theta + 273{,}15\) ; P en Pa ; V en m³.
- Valable pour un gaz peu dense (basse pression).
Premier principe
- W : travail (échelle macroscopique) ; Q : transfert thermique (échelle microscopique).
- Positifs si reçus par le système.
- Q va spontanément du corps chaud vers le corps froid.
Système incompressible
- C en J·K⁻¹ ; c en J·kg⁻¹·K⁻¹ ; \(c_{\text{eau}} = 4180\).
- Calorimètre isolé : \(\sum m\,c\,(T_f - T_i) = 0\).
Exercices
Exercice 1 : texte à trous
Exercice 2 : Vrai ou faux ?
Exercice 3 : QCM 📄 ✏️
- Sa pression double.
- Sa pression est multipliée par 4.
- Ses particules sont plus agitées.
- Sa quantité de matière augmente.
- Son énergie interne augmente.
Exercice 4 : Le pneu de vélo 📄 ✏️ 🧮
Un pneu de vélo de volume \(V = 2{,}0\ \text{L}\) est gonflé à la pression \(P_1 = 4{,}0\ \text{bar}\) à 15 °C. Après une longue descente au soleil, l'air du pneu atteint 40 °C. On considère l'air comme un gaz parfait et le volume du pneu comme constant. Donnée : 1 bar = \(10^{5}\) Pa.
💡 Indice
\(n = \dfrac{P\,V}{R\,T}\), avec P en Pa, V en m³ et T en K.\(n = \dfrac{4{,}0 \times 10^{5} \times 2{,}0 \times 10^{-3}}{8{,}314 \times 288{,}15} = 0{,}334\ \text{mol}\).
💡 Indice
n et V ne changent pas : \(\dfrac{P}{T} = \dfrac{n\,R}{V}\).\(\dfrac{P}{T} = \dfrac{n\,R}{V}\) est constant, donc \(P_2 = P_1 \times \dfrac{T_2}{T_1} = 4{,}0 \times \dfrac{313{,}15}{288{,}15} = 4{,}3\ \text{bar}\).
💡 Indice
Que devient l'agitation des molécules quand la température augmente ?Les molécules sont plus agitées : elles frappent la paroi du pneu plus souvent et plus fort, donc la force pressante, et la pression, augmentent.
Exercice 5 : La bouilloire électrique 📄 ✏️ 🧮
Une bouilloire de puissance électrique \(\mathcal{P} = 2000\ \text{W}\) chauffe 1,0 L d'eau de 20 °C à 100 °C en 3 min 30 s. Le système étudié est l'eau. Données : \(c_{\text{eau}} = 4180\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}\) ; 1,0 L d'eau a une masse de 1,0 kg.
💡 Indice
\(\Delta U = m\,c\,(T_f - T_i)\).\(\Delta U = 1{,}0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3{,}34 \times 10^{5}\ \text{J}\).
💡 Indice
\(E = \mathcal{P} \times \Delta t\), avec Δt en secondes.\(E = 2000 \times 210 = 4{,}20 \times 10^{5}\ \text{J}\).
💡 Indice
L'eau reçoit \(Q_{\text{reçu}} = 4{,}20 \times 10^{5}\) J de la résistance et cède \(Q_{\text{perdu}}\) à l'air et à la bouilloire : \(\Delta U = Q_{\text{reçu}} + Q_{\text{perdu}}\).\(Q_{\text{perdu}} = \Delta U - Q_{\text{reçu}} = 3{,}344 \times 10^{5} - 4{,}20 \times 10^{5} = -8{,}6 \times 10^{4}\ \text{J}\) : 86 kJ sont perdus. Rendement : \(\eta = \dfrac{3{,}344 \times 10^{5}}{4{,}20 \times 10^{5}} = 80\ \%\).
Exercice 6 : Identifier un métal 📄 ✏️ 🧮
Dans un calorimètre, on plonge un bloc métallique de 200 g, sorti d'une étuve à 90,0 °C, dans 300 g d'eau à 20,0 °C. La température d'équilibre est 28,8 °C. On néglige la capacité thermique du calorimètre.
💡 Indice
Le métal est le corps chaud.Du métal vers l'eau : \(\Delta U_{\text{métal}} \lt 0\) et \(\Delta U_{\text{eau}} \gt 0\).
💡 Indice
\(\Delta U_{\text{eau}} = m_{\text{eau}}\,c_{\text{eau}}\,(T_f - T_{\text{eau}})\).\(\Delta U_{\text{eau}} = 0{,}300 \times 4180 \times (28{,}8 - 20{,}0) = 1{,}104 \times 10^{4}\ \text{J}\).
💡 Indice
Système isolé : \(\Delta U_{\text{métal}} = -\Delta U_{\text{eau}}\).\(c = \dfrac{1{,}104 \times 10^{4}}{0{,}200 \times (90{,}0 - 28{,}8)} = 9{,}0 \times 10^{2}\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}\) : c'est de l'aluminium.
Exercice 7 : Freinage d'une voiture 📄 ✏️ 🧮
Une voiture de 1200 kg roule à 90 km/h sur une route horizontale. Elle freine jusqu'à l'arrêt. On suppose que toute son énergie cinétique est transférée aux quatre disques de frein en acier, de masse totale 20 kg. Donnée : \(c_{\text{acier}} = 460\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}\).
💡 Indice
90 km/h = 25 m/s ; l'altitude ne change pas.\(\Delta E_m = 0 - \dfrac{1}{2} \times 1200 \times 25^2 = -3{,}75 \times 10^{5}\ \text{J}\).
💡 Indice
Les frottements la transfèrent aux disques : \(\Delta U_{\text{disques}} = 3{,}75 \times 10^{5}\) J \(= m\,c\,\Delta T\).Elle augmente l'énergie interne des disques : \(\Delta T = \dfrac{3{,}75 \times 10^{5}}{20 \times 460} = 41\ \text{°C}\).
💡 Indice
L'énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse.\(\Delta T = 41 \times \left(\dfrac{130}{90}\right)^2 = 85\ \text{°C}\) : plus du double. C'est pourquoi les freins chauffent beaucoup lors des freinages à grande vitesse.