Mise en évidence du phénomène
Qu'est-ce que la diffraction ?
- Le phénomène est d'autant plus marqué que la dimension a de l'ouverture (ou de l'obstacle) est petite devant la longueur d'onde λ. Il devient très net quand a est de l'ordre de λ ou plus petit.
- La diffraction ne modifie ni la longueur d'onde ni la fréquence de l'onde : l'onde reste dans le même milieu.
- La diffraction concerne toutes les ondes : vagues, son, lumière, ondes radio, rayons X… C'est une signature du caractère ondulatoire d'un phénomène.
Dans des situations variées
- La houle : en passant l'entrée étroite d'une baie ou d'un port, la houle s'étale en arcs de cercle et atteint des zones abritées. C'est le cas, par exemple, à l'entrée de la baie de Saint-Sébastien, en Espagne.
- Le son : on entend une personne qui parle derrière une porte entrouverte ou au coin d'un mur. Les longueurs d'onde sonores, de quelques centimètres à quelques mètres, sont du même ordre que les ouvertures courantes.
- La lumière : un faisceau laser qui traverse une fente très fine ou rencontre un cheveu s'étale sur l'écran. La longueur d'onde (moins d'un micromètre) étant très petite, il faut des ouvertures très fines pour l'observer.
- Les rayons X sont diffractés par les atomes des cristaux et des molécules. C'est le cliché de diffraction de l'ADN obtenu par Rosalind Franklin en 1952 qui a permis à Watson et Crick de proposer en 1953 la structure en double hélice.
🔗 Pour explorer le phénomène, la simulation Wave Interference (PhET) permet de faire varier la largeur d'une fente et la longueur d'onde (onglet « Slits », une seule fente).
Des conséquences concrètes
- Limite des instruments d'optique : l'ouverture d'un télescope, d'un microscope ou d'une lunette diffracte la lumière. L'image d'un point est une petite tache, et deux points trop proches ne peuvent plus être séparés. Plus l'ouverture est grande, moins la diffraction gêne : c'est une raison de la course aux grands télescopes (🔗 la lunette astronomique).
- Lecture des disques optiques : le laser est focalisé en une tache dont la taille est limitée par la diffraction. Le Blu-ray utilise un laser bleu-violet (405 nm) plutôt que rouge : une longueur d'onde plus petite donne une tache plus fine, donc plus d'informations sur le disque.
- Ondes radio : les grandes ondes (λ de l'ordre du kilomètre) contournent collines et bâtiments, alors que les ondes de plus petite longueur d'onde passent moins bien les obstacles.
Diffraction de la lumière
La figure de diffraction
On éclaire une ouverture très fine avec un laser et on observe sur un écran éloigné la figure de diffraction. Sa forme dépend de la forme de l'ouverture :
- une fente fine donne une tache centrale large et très lumineuse, entourée de taches secondaires deux fois moins larges et beaucoup moins lumineuses, alignées perpendiculairement à la fente : une fente verticale donne une figure horizontale ;
- un trou circulaire donne une tache centrale circulaire entourée d'anneaux ;
- un fil (ou un cheveu) de diamètre a donne la même figure qu'une fente de largeur a.
La taille de la tache centrale dépend de la largeur de l'ouverture (elle grandit quand l'ouverture rétrécit) et de la longueur d'onde (elle est plus large pour la lumière rouge que pour la lumière bleue).
L'angle caractéristique de diffraction
L'écart angulaire
- θ augmente quand a diminue : plus l'ouverture est fine, plus la diffraction est marquée.
- θ augmente avec λ : la lumière rouge est plus diffractée que la lumière bleue.
Dispositif expérimental
Un faisceau laser de longueur d'onde λ éclaire perpendiculairement une fente fine de largeur a. Un écran est placé à une distance D, la plus grande possible. La tache centrale de la figure de diffraction a pour largeur L.
Largeur de la tache centrale
Montrez, à l'aide du dispositif expérimental, que si l'écart angulaire est suffisamment petit, la largeur de la tache centrale vaut \(L = \dfrac{2 \lambda D}{a}\). Rappel : pour un angle petit, \(\tan \theta \approx \theta\) (θ en radians). Avancez étape par étape : cherchez d'abord, utilisez l'indice si besoin, puis cliquez sur la question pour vérifier votre réponse.
💡 Indice
Le côté opposé à θ est la moitié de la tache centrale ; le côté adjacent est la distance D.θ étant petit, \(\tan \theta \approx \theta\), donc \(\theta \approx \dfrac{L}{2D}\).
💡 Indice
On a aussi \(\theta = \dfrac{\lambda}{a}\) : égalez les deux expressions de θ.\(\dfrac{L}{2D} = \dfrac{\lambda}{a}\) ; en multipliant par 2D, on obtient le résultat ci-dessous.
La largeur de la tache centrale de diffraction est donc :
L est proportionnelle à λ et à D, et inversement proportionnelle à a. Mesurer L permet de déterminer a si λ est connue (diamètre d'un cheveu, d'un fil), ou λ si a est connue.
Un laser rouge de longueur d'onde \(\lambda = 650\ \text{nm}\) éclaire une fente de largeur \(a = 50\ \mu\text{m}\). L'écran est à \(D = 1{,}5\ \text{m}\). 🧮
\(\theta = \dfrac{650 \times 10^{-9}}{50 \times 10^{-6}} = 1{,}3 \times 10^{-2}\ \text{rad}\), soit environ 0,74° : l'approximation \(\tan \theta \approx \theta\) est justifiée.
\(L = \dfrac{2 \lambda D}{a} = 2 \times 1{,}3 \times 10^{-2} \times 1{,}5 = 3{,}9 \times 10^{-2}\ \text{m}\), soit 3,9 cm.
Exploiter des mesures
Pour vérifier la relation \(\theta = \dfrac{\lambda}{a}\) ou déterminer λ, on mesure L pour plusieurs fentes de largeurs connues, on calcule \(\theta = \dfrac{L}{2D}\) et l'on trace θ en fonction de \(\dfrac{1}{a}\) : on obtient une droite passant par l'origine, de coefficient directeur λ.
Bilan
L'essentiel à retenir du chapitre.
Le phénomène
- Une onde qui traverse une ouverture (ou rencontre un obstacle) de petite taille s'étale.
- D'autant plus marqué que a est petite devant λ ; très net si a ≈ λ.
- λ et fréquence inchangées.
Situations et conséquences
- Houle, son, lumière, ondes radio, rayons X (ADN).
- Limite la finesse des détails vus avec un instrument d'optique.
- Plus λ est petite, plus le spot d'un laser peut être fin (Blu-ray).
Figure de diffraction
- Fente : tache centrale + taches secondaires, perpendiculairement à la fente.
- Trou : tache centrale et anneaux.
- Fil de diamètre a ↔ fente de largeur a.
Écart angulaire
- Angle entre le centre de la tache centrale et la première extinction.
- θ en radians ; λ et a dans la même unité.
Tache centrale
- \(\tan \theta = \dfrac{L}{2D} \approx \theta\) pour les petits angles.
- θ = f(1/a) : droite de pente λ.
Exercices
Exercice 1 : texte à trous sur la diffraction
Exercice 2 : Vrai ou faux sur la diffraction
Exercice 3 : QCM sur l'écart angulaire 🧮
- L'écart angulaire vaut \(6{,}0 \times 10^{-3}\ \text{rad}\).
- L'écart angulaire vaut \(6{,}0\ \text{rad}\).
- La tache centrale mesure 2,4 cm de large.
- Avec une fente deux fois plus large, la tache centrale serait deux fois moins large.
- Avec un laser bleu, la tache centrale serait plus large.
- En éloignant l'écran, la tache centrale rétrécit.
- La diffraction augmente la fréquence de la lumière.
Exercice 4 : mesurer le diamètre d'un cheveu 📄 ✏️ 🧮
On tend un cheveu verticalement devant un laser de longueur d'onde \(\lambda = 650\ \text{nm}\). Sur un écran placé à \(D = 2{,}00\ \text{m}\), on observe une figure de diffraction dont la tache centrale mesure \(L = 2{,}6\ \text{cm}\).
Un fil (ou un cheveu) de diamètre a donne la même figure de diffraction qu'une fente de largeur a. Le cheveu étant vertical, la figure s'étale horizontalement.
💡 Indice
Isolez a dans \(L = \dfrac{2 \lambda D}{a}\).\(a = \dfrac{2 \times 650 \times 10^{-9} \times 2{,}00}{2{,}6 \times 10^{-2}} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m} = 100\ \mu\text{m}\), une valeur typique pour un cheveu.
L est proportionnelle à D : avec un écran éloigné, la tache est plus large et sa mesure à la règle est relativement plus précise (l'incertitude de lecture pèse moins).
Exercice 5 : déterminer la longueur d'onde d'un laser 📄 ✏️ 🧮
On éclaire successivement des fentes de largeurs a connues avec un même laser, et l'on mesure la largeur L de la tache centrale sur un écran placé à \(D = 1{,}50\ \text{m}\) :
| a (µm) | 40 | 50 | 80 | 100 | 150 |
|---|---|---|---|---|---|
| L (cm) | 4,8 | 3,8 | 2,4 | 1,9 | 1,3 |
💡 Indice
Revoyez la démonstration du cours : \(\tan \theta = \dfrac{L}{2D}\) et petits angles.\(\tan \theta = \dfrac{L/2}{D}\) et \(\tan \theta \approx \theta\). On obtient, dans l'ordre des fentes : \(1{,}6 \times 10^{-2}\) ; \(1{,}3 \times 10^{-2}\) ; \(8{,}0 \times 10^{-3}\) ; \(6{,}3 \times 10^{-3}\) ; \(4{,}3 \times 10^{-3}\) rad.
On porte \(\dfrac{1}{a}\) en abscisse : θ est alors proportionnel à 1/a. Valeurs : \(2{,}5 \times 10^{4}\) ; \(2{,}0 \times 10^{4}\) ; \(1{,}25 \times 10^{4}\) ; \(1{,}0 \times 10^{4}\) ; \(6{,}7 \times 10^{3}\ \mathrm{m^{-1}}\).
La pente est égale à λ : \(\lambda = 6{,}4 \times 10^{-7}\ \text{m} = 640\ \text{nm}\), lumière rouge (c'est probablement un laser hélium-néon, de longueur d'onde 633 nm : l'écart relatif, d'environ 1 %, est compatible avec la précision des mesures de L).
Exercice 6 : on entend derrière la porte, mais on ne voit pas 📄 ✏️ 🧮
Une porte de largeur \(a = 0{,}80\ \text{m}\) est ouverte sur un couloir. Dans la pièce, une personne parle (son de fréquence 500 Hz, célérité \(340\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\)) et elle est éclairée par de la lumière de longueur d'onde moyenne 550 nm.
\(\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{340}{500} = 0{,}68\ \text{m}\).
Pour le son, λ = 0,68 m est du même ordre que a = 0,80 m : la diffraction est très marquée. Pour la lumière, λ = 550 nm est environ un million de fois plus petite que a : la diffraction est imperceptible.
\(\theta = \dfrac{550 \times 10^{-9}}{0{,}80} \approx 6{,}9 \times 10^{-7}\ \text{rad}\) : la lumière se propage pratiquement en ligne droite et n'atteint pas le couloir. Le son, lui, s'étale dans toutes les directions derrière la porte : on entend la personne sans la voir.
Vers le bac
S'entraîner sur des sujets de bac
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Conseil : cherchez chaque exercice en temps limité, comme le jour de l'épreuve, avant de regarder le corrigé.