Comment résoudre une équation dont l'inconnue est une fonction ?

L'équation \(y' = a\,y + b\) est une équation différentielle du premier ordre à coefficients a et b constants. Son inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction \(y = f(t)\) que l'on doit déterminer.

Nous allons voir la technique de résolution et son intérêt en physique et en chimie.

Comme nous sommes en physique, la variable de la fonction n'est pas appelée x comme en mathématiques, mais t, comme le temps.

L'équation y' = b

Résolution (a = 0, b réel)

Cette équation peut s'écrire sous différentes formes équivalentes :

\[ y' = b \qquad f'(t) = b \qquad \dfrac{df}{dt} = b \]

Déterminez les solutions de cette équation différentielle.

📖

1. La dérivée de la fonction cherchée est une constante b. Quelle fonction a pour dérivée b ?

💡 Indice

Cherchez une primitive de b : quelle est la dérivée de \(b \times t\) ?

\((b \times t)' = b\) : la fonction \(t \mapsto b \times t\) est une solution.

📖

2. Est-ce la seule solution ?

💡 Indice

Que vaut la dérivée d'une constante ?

Non : on peut ajouter n'importe quelle constante C, dont la dérivée est nulle. On obtient toutes les solutions ci-dessous.

Les solutions de l'équation \(y' = b\) sont donc les fonctions :

\[ y(t) = b \times t + C \]

La constante C se détermine avec la condition initiale : \(y(0) = C\).

C'est ce que l'on fait en mécanique : si l'accélération est constante, \(\dfrac{dv}{dt} = a\), donc \(v(t) = a \times t + v_0\).

L'équation y' = ay

Solution (b = 0, a réel)

L'équation peut s'écrire sous différentes formes équivalentes :

\[ \begin{gathered} y' = a\,y \qquad f'(t) = a \times f(t) \\ \dfrac{df}{dt} = a \times f \end{gathered} \]

On obtient des solutions de la forme :

\[ y(t) = C \times e^{a t} \]

avec C une constante.

Vérifiez que cette fonction est bien solution de l'équation \(y' = a\,y\).

📖

1. Calculez la dérivée de \(y(t) = C \times e^{a t}\).

💡 Indice

\(\left(e^{u}\right)' = u' \times e^{u}\), avec ici \(u = a\,t\).

\(y'(t) = C \times a \times e^{a t}\)

📖

2. Comparez avec \(a \times y(t)\) et concluez.

💡 Indice

Remplacez y(t) par son expression dans \(a \times y\).

\(a \times y(t) = a \times C \times e^{a t} = y'(t)\) : la fonction vérifie bien l'équation pour toute valeur de C.

À \(t = 0\) : \(y(0) = C \times e^{0} = C\). La constante C est donc la valeur initiale de y.

Exemple en chimie

On fait réagir une espèce A de concentration initiale \([A]_0 = 2\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\) avec B de concentration initiale \([B]_0 = 3\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\). La réaction \(\mathrm{A + B \longrightarrow C + D}\) est lente et totale. L'expérience montre qu'elle est d'ordre 1 par rapport à A, de constante de vitesse k.

Écrivez l'équation différentielle qui décrit l'évolution de la concentration de A, puis donnez sa solution.

📖

1. Exprimez la vitesse volumique de disparition de A pour une réaction d'ordre 1.

💡 Indice

Pour une réaction d'ordre 1, la vitesse de disparition est proportionnelle à la concentration du réactif.

\(v_{d}(A) = -\dfrac{d[A]}{dt} = k \times [A]\)

📖

2. Mettez cette relation sous la forme \(y' = a\,y\). Que vaut a ?

💡 Indice

Ici, la fonction inconnue est \(y = [A]\).

\(\dfrac{d[A]}{dt} = -k \times [A]\) : c'est l'équation \(y' = a\,y\) avec \(a = -k\).

📖

3. Écrivez la solution, puis déterminez la constante grâce à la condition initiale.

💡 Indice

\(y(t) = C \times e^{a t}\), et C est la valeur de y à \(t = 0\).

\([A](t) = C \times e^{-k t}\) et, à \(t = 0\), \(C = [A]_0 = 2\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\) : on obtient l'expression ci-dessous.

La concentration de A évolue donc selon :

\[ [A](t) = [A]_0 \times e^{-k t} = 2 \times e^{-k t} \]

La concentration de A diminue de façon exponentielle et tend vers 0 : A, réactif limitant, finit par être entièrement consommé.

L'équation y' = ay + b

Solution (a et b réels)

On obtient des solutions de la forme :

\[ y(t) = A \times e^{a t} - \dfrac{b}{a} \]

Notation physique et temps caractéristique

En physique, on préfère écrire l'équation du premier ordre sous la forme :

\[ y' + \dfrac{y}{\tau} = b \qquad \text{avec} \qquad \tau = -\dfrac{1}{a} \]

τ est le temps caractéristique (en s). La solution s'écrit alors :

\[ y(t) = \underbrace{A \times e^{-\frac{t}{\tau}}}_{\text{homogène}} + \underbrace{B}_{\text{constante}} \]

\(A \times e^{-\frac{t}{\tau}}\) est la solution de l'équation homogène (pour b = 0).
B est une solution particulière constante : si y est constante, \(y' = 0\), donc \(\dfrac{B}{\tau} = b\), soit \(B = b \times \tau\).
On détermine A avec les conditions initiales : \(y(0) = A + B\).

Quand t devient grand, \(e^{-\frac{t}{\tau}}\) tend vers 0 : y tend vers B (asymptote horizontale). À \(t = \tau\), y a parcouru environ 63 % de l'écart entre sa valeur initiale et B, et la tangente à l'origine coupe l'asymptote en \(t = \tau\).

Faites varier A, B et τ pour observer leur influence sur la courbe :

B (valeur limite)

τ (temps caractéristique)

tangente à l'origine

🐍 Capacité numérique : ce programme trace la même courbe. Modifiez A, B et τ pour observer leur influence.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A = 20      # constante fixée par les conditions initiales
B = 0       # valeur limite
tau = 1     # temps caractéristique (s)

t = np.linspace(0, 10, 500)
y = A * np.exp(-t / tau) + B

plt.plot(t, y, label="y(t)")
plt.axhline(B, linestyle="--", color="gray", label="asymptote y = B")
plt.axvline(tau, linestyle=":", color="green", label="t = tau")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Exemple en physique : le parachutiste

Un parachutiste de masse \(m = 80\ \text{kg}\) saute d'un avion. Il est soumis à son poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) et à une force de frottement de l'air proportionnelle à sa vitesse : \(\vec{f} = -k\vec{v}\), avec \(k = 12\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}}\) et \(g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\).

La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe vertical orienté vers le bas, donne :

\[ m \times \dfrac{dv}{dt} = m \times g - k \times v \]

Établissez l'expression de la vitesse du parachutiste et montrez qu'il existe une vitesse limite.

📖

1. Mettez l'équation sous la forme \(v' + \dfrac{v}{\tau} = b\). Exprimez τ et b, puis calculez τ.

💡 Indice

Divisez les deux membres par m, puis passez le terme en v à gauche.

\[ \dfrac{dv}{dt} + \dfrac{k}{m}\,v = g \]

Donc \(\tau = \dfrac{m}{k} = \dfrac{80}{12} \approx 6{,}7\ \text{s}\) et \(b = g\).

📖

2. Déterminez la solution constante B. Que représente-t-elle ?

💡 Indice

\(B = b \times \tau\). Une vitesse constante signifie que l'accélération est nulle.

\(B = g \times \tau = \dfrac{m\,g}{k}\) : c'est la vitesse limite \(v_{\lim}\), atteinte quand le frottement compense le poids.

\(v_{\lim} = \dfrac{80 \times 9{,}8}{12} \approx 65\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\), soit environ 235 km/h.

📖

3. Le parachutiste part sans vitesse initiale. Déterminez A.

💡 Indice

\(v(t) = A \times e^{-\frac{t}{\tau}} + v_{\lim}\), et \(v(0) = 0\).

\(v(0) = A + v_{\lim} = 0\), donc \(A = -v_{\lim}\) : en factorisant, on obtient l'expression ci-dessous.

La vitesse du parachutiste évolue donc selon :

\[ \begin{gathered} v(t) = v_{\lim} \times \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \\ \text{avec } v_{\lim} = \dfrac{m\,g}{k} \approx 65\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \end{gathered} \]

Quand t devient grand, \(e^{-\frac{t}{\tau}}\) tend vers 0 et v tend vers \(v_{\lim}\) : la vitesse limite existe bien. Elle est pratiquement atteinte au bout de \(5\tau\), soit environ 33 s.

Bilan

L'essentiel à retenir.

y' = b

On cherche une primitive.
C est la valeur initiale : \(y(0) = C\).

\[ y(t) = b \times t + C \]

y' = ay

C est la valeur initiale : \(y(0) = C\).
Exemple : cinétique d'ordre 1, \([A](t) = [A]_0\, e^{-kt}\).

\[ y(t) = C \times e^{a t} \]

y' + y/τ = b

τ : temps caractéristique ; \(B = b \times \tau\) : valeur limite.
A se détermine avec les conditions initiales : \(y(0) = A + B\).

\[ y(t) = A \times e^{-\frac{t}{\tau}} + B \]

Lire la courbe

Asymptote horizontale \(y = B\).
À \(t = \tau\) : 63 % de l'évolution ; la tangente à l'origine coupe l'asymptote en \(t = \tau\).
Au bout de \(5\tau\), la valeur limite est pratiquement atteinte.

Où les retrouve-t-on ?

Cette année, les équations différentielles interviennent dans les chapitres :

🔗 Cinétique chimique (réaction d'ordre 1) ;
🔗 Transformations nucléaires (décroissance radioactive) ;
🔗 Transferts thermiques (refroidissement d'un corps, loi de Newton) ;
🔗 Dynamique des circuits électriques (charge et décharge d'un condensateur).

Exercices

Exercice 1 : texte à trous

📝 Sélectionne les bonnes réponses :

Exercice 2 : Vrai ou faux ?

📝 Réponds par Vrai ou Faux :

Exercice 3 : QCM 📄 ✏️

📝 Une grandeur y vérifie \(y' + 4\,y = 20\) avec \(y(0) = 0\). Quelles affirmations sont exactes ?

Le temps caractéristique vaut τ = 0,25 s.
La valeur limite de y est 20.
La valeur limite de y est 5.
\(y(t) = 5 \times \left(1 - e^{-4t}\right)\)
\(y(t) = 5 \times e^{-4t}\)

Exercice 4 : Une équation y' = ay 📄 ✏️ 🧮

Une grandeur y vérifie l'équation différentielle \(y' = -3\,y\), avec la condition initiale \(y(0) = 5\).

📖

1. Écrire la forme générale des solutions.

💡 Indice

Les solutions de \(y' = a\,y\) sont \(C \times e^{a t}\) : identifiez a.

Ici \(a = -3\) : \(y(t) = C \times e^{-3t}\).

📖

2. Déterminer la constante C, puis calculer \(y(1)\).

💡 Indice

\(y(0) = C\).

\(C = y(0) = 5\), donc \(y(t) = 5 \times e^{-3t}\) et \(y(1) = 5 \times e^{-3} \approx 0{,}25\).

Exercice 5 : Une équation y' + y/τ = b 📄 ✏️ 🧮

Une grandeur y vérifie l'équation différentielle \(y' + 2\,y = 6\), avec \(y(0) = 0\).

📖

1. Identifier le temps caractéristique τ et le second membre b.

💡 Indice

Comparez avec \(y' + \dfrac{y}{\tau} = b\).

\(\dfrac{1}{\tau} = 2\), donc \(\tau = 0{,}5\) ; et \(b = 6\).

📖

2. Déterminer la solution constante B, puis la constante A.

💡 Indice

\(B = b \times \tau\), puis \(y(0) = A + B\).

\(B = 6 \times 0{,}5 = 3\). Et \(y(0) = A + 3 = 0\), donc \(A = -3\).

📖

3. Écrire la solution et donner la valeur limite de y.

💡 Indice

\(y(t) = A \times e^{-\frac{t}{\tau}} + B\).

\(y(t) = -3\,e^{-2t} + 3 = 3 \times \left(1 - e^{-2t}\right)\) : y tend vers 3.

Exercice 6 : Le refroidissement d'un café 📄 ✏️ 🧮

Un café à \(\theta_0 = 80\ °\text{C}\) refroidit dans une pièce à \(\theta_{\text{ext}} = 20\ °\text{C}\). Sa température vérifie la loi de Newton :

\[ \begin{gathered} \dfrac{d\theta}{dt} + \dfrac{\theta}{\tau} = \dfrac{\theta_{\text{ext}}}{\tau} \\ \text{avec } \tau = 10\ \text{min} \end{gathered} \]

📖

1. Déterminer la solution constante B. Que représente-t-elle ?

💡 Indice

\(B = b \times \tau\), avec ici \(b = \dfrac{\theta_{\text{ext}}}{\tau}\).

\(B = \theta_{\text{ext}} = 20\ °\text{C}\) : la température finale du café est celle de la pièce.

📖

2. Établir l'expression de \(\theta(t)\).

💡 Indice

\(\theta(t) = A \times e^{-\frac{t}{\tau}} + B\), avec \(\theta(0) = 80\ °\text{C}\).

\(\theta(0) = A + 20 = 80\), donc \(A = 60\ °\text{C}\) :

\[ \theta(t) = 60 \times e^{-\frac{t}{10}} + 20 \]

📖

3. Calculer la température du café au bout de 15 min, puis la durée pour qu'il atteigne 30 °C.

💡 Indice

Pour la durée, isolez l'exponentielle puis utilisez la fonction ln : \(\ln\left(e^{x}\right) = x\).

\(\theta(15) = 60 \times e^{-1{,}5} + 20 \approx 33{,}4\ °\text{C}\).

\(60 \times e^{-\frac{t}{10}} = 10\), soit \(e^{-\frac{t}{10}} = \dfrac{1}{6}\), donc \(t = 10 \times \ln 6 \approx 17{,}9\ \text{min}\).

Exercice 7 : Décroissance radioactive 📄 ✏️ 🧮

Le nombre N(t) de noyaux radioactifs d'un échantillon vérifie \(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda \times N\), où λ est la constante radioactive. À \(t = 0\), l'échantillon contient \(N_0\) noyaux.

📖

1. Établir l'expression de N(t).

💡 Indice

C'est une équation \(y' = a\,y\) : identifiez a, puis la constante grâce à \(N(0) = N_0\).

\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \]

📖

2. La demi-vie \(t_{1/2}\) est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée. Montrer que \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).

💡 Indice

Écrivez \(N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}\), simplifiez par \(N_0\), puis prenez le logarithme népérien.

\(e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}\), donc \(-\lambda\,t_{1/2} = \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2\), d'où \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).

📖

3. Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Quelle fraction des noyaux reste-t-il au bout de 11 460 ans ?

💡 Indice

Combien de demi-vies se sont écoulées ?

11 460 ans = 2 demi-vies : il reste \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\) des noyaux, soit 25 %.